On the Haagerup inequality and groups acting on ${\tilde{A}}_n$-buildings

Valette, Alain

Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997) no. 4, pp. 1195-1208.

Soit $\Gamma$ un groupe muni d’une fonction-longueur $L$, et soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\mathbf{C}\Gamma$. On dira que $E$ satisfait à l’inégalité de Haagerup s’il existe des constantes $C,s>0$ telles que, pour tout $f\in E$, la norme de convolution de $f$ sur ${\ell }^2\left(\Gamma \right)$ soit dominée par $C$ fois la norme ${\ell }^2$ de $f(1+L{)}^s$. Nous montrons que, pour $E=\mathbf{C}\Gamma$, l’inégalité de Haagerup s’exprime en termes de décroissance des marches aléatoires associées à des mesures de probabilité symétriques à support fini sur $\Gamma$. Si $L$ est la longueur des mots sur un groupe $\Gamma$ de type fini, nous montrons que, si l’espace ${\mathrm{Rad}}_L\left(\Gamma \right)$ des fonctions radiales par rapport à $L$ satisfait à l’inégalité de Haagerup, alors $\Gamma$ est non moyennable si et seulement si $\Gamma$ est à croissance superexponentielle. Nous montrons aussi que l’inégalité de Haagerup pour ${\mathrm{Rad}}_L\left(\Gamma \right)$ a une interprétation purement combinatoire; en utilisant le résultat principal de l’article de J. Swiatkowski dans le même fascicule, nous déduisons que, pour un groupe $\Gamma$ opérant simplement transitivement sur les sommets d’un immeuble euclidien épais de type ${\tilde{A}}_n$, l’espace ${\mathrm{Rad}}_L\left(\Gamma \right)$ satisfait à l’inégalité de Haagerup, et $\Gamma$ est non moyennable.

Let $\Gamma$ be a group endowed with a length function $L$, and let $E$ be a linear subspace of $\mathbf{C}\Gamma$. We say that $E$ satisfies the Haagerup inequality if there exists constants $C,s>0$ such that, for any $f\in E$, the convolutor norm of $f$ on ${\ell }^2\left(\Gamma \right)$ is dominated by $C$ times the ${\ell }^2$ norm of $f(1+L{)}^s$. We show that, for $E=\mathbf{C}\Gamma$, the Haagerup inequality can be expressed in terms of decay of random walks associated with finitely supported symmetric probability measures on $\Gamma$. If $L$ is a word length function on a finitely generated group $\Gamma$, we show that, if the space ${\mathrm{Rad}}_L\left(\Gamma \right)$ of radial functions with respect to $L$ satisfies the Haagerup inequality, then $\Gamma$ is non-amenable if and only if $\Gamma$ has superpolynomial growth. We also show that the Haagerup inequality for ${\mathrm{Rad}}_L\left(\Gamma \right)$ has a purely combinatorial interpretation; thus, using the main result of the companion paper by J. Swiatkowski, we deduce that, for a group $\Gamma$ acting simply transitively on the vertices of a thick euclidean building of type ${\tilde{A}}_n$, the space ${\mathrm{Rad}}_L\left(\Gamma \right)$ satisfies the Haagerup inequality, and $\Gamma$ is non-amenable.

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