Singularité de séries de Dirichlet associées à des polynômes de plusieurs variables et applications en théorie analytique des nombres

Essouabri, Driss

Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997) no. 2, pp. 429-483.

Soit $P\in ℝ[X_1,...,X_n]$ un polynôme. On appelle série de Dirichlet associée à $P$ la fonction : $s\mapsto Z(P;s)=\sum _{m\in {\mathbb{N}}^{*n}}P(m{)}^{-s}(s\in ℂ)$. Dans cet article nous étudions l’existence et les propriétés du prolongement méromorphe d’une telle série sous l’hypothèse qu’il existe $B\in ]0,1[$ tel que : i) $P\left(x\right)\to +\infty$ quand $\left|\right|x\left|\right|\to +\infty$ et $x\in [B,+\infty {[}^n$ et ii) $d\left(Z\right(P),[B,+\infty {[}^n)>0$ où $Z\left(P\right)=\{z\in {ℂ}^n|P\left(z\right)=0\}$. Cette hypothèse est probablement optimale et en tout cas contient strictement toutes les classes de polynômes déjà traitées antérieurement. Sous cette hypothèse nos principaux résultats sont : l’existence du prolongement méromorphe au plan complexe de la série de Dirichlet, la caractérisation d’un ensemble de candidats pôles, la majoration de leurs ordres par la dimension $n$ et l’obtention de majoration du prolongement méromorphe sur les bandes verticales de $ℂ$. Comme application nous montrons l’existence d’un développement asymptotique limité de la fonction de comptage $N_P\left(t\right)=\#\{m\in {\mathbb{N}}^{*n}\left|P\right(m)\le t\}$ quand $t\to +\infty$.

We consider the Dirichlet series $s\mapsto Z(P;s)=\sum _{m\in {\mathbb{N}}^{*n}}P(m{)}^{-s}(s\in ℂ)$ where $P\in ℝ[X_1,...,X_n]$. We will say that $Z(P;s)$ exists if this multiple series is absolutely convergent. In this paper we study meromorphic continuations of such series, under the assumptions that there exists a constant $B\in ]0,1[$ such that: i) $P\left(x\right)\to +\infty$ when $\left|\right|x\left|\right|\to +\infty$ and $x\in [B,+\infty {[}^n$ and ii) $d\left(Z\right(P),[B,+\infty {[}^n)>0$ where $Z\left(P\right)=\{z\in {ℂ}^n|P\left(z\right)=0\}$. This assumption is probably optimal, and in any way strictly includes all classes of polynomials previously treated. Under this assumption, we prove the existence of meromorphic continuation of Dirichlet series, we give a set of candidate poles and an upper bound to the orders of these poles. Moreover we obtain bounds for these meromorphic continuation on vertical bands. As an application, we show the existence of a finite asymptotic expansion of the counting function: $N_P\left(t\right)=\#\{m\in {\mathbb{N}}^{*n}\left|P\right(m)\le t\}$ when $t\to +\infty$

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