Soit , , , et les variables usuelles qui décrivent l’état d’un fluide en coordonnées eulériennes. Le domaine physique occupé par le fluide est a priori tout entier, mais peut être nul en dehors d’un compact . On choisit l’équation d’état d’un gaz parfait, , où est une constante. Le cas est celui du gaz mono-atomique.
Dans la limite , les collisions sont rares et on est tenté d’approcher le mouvement des particules par un mouvement rectiligne uniforme : le champ de vitesse obéit alors à . Si de plus , où n’a pas de valeur propre réelle négative, est défini pour tout , ce qu’on note .
On montre ici que, pour une condition initiale , , telle que , , ( étant une constante) soient petits dans (), le problème de Cauchy admet une solution classique pour tout . Si de plus n’a aucune valeur propre réelle (dans ce cas, est pair), l’existence a lieu pour tout . Enfin, pour un gaz mono-atomique, on donne une description précise du comportement asymptotique en temps.
Let , , , , the usual variables describing the state of a fluid in an eulerian frame. The underlying physical space is , . We restrict to the perfect gas law: , where is a constant. In the formal limit (rarefied gases), the particles evolve freely with a uniform motion; if the initial velocity field is linear (say ), then it remains so, with , and it is defined for every positive time, provided does not have a non-positive real eigenvalue. Let be this field. The purpose of this paper is to prove that, if the initial data is close to , with a constant, then the Cauchy problem admits a (unique) smooth solution defined for all . In the mono-atomic case (), we give an accurate description of the asymptotic behaviour. All these results are especially designed for finite mass flows. The above-mentioned closeness relies as usual to the space with .
In even space dimension (say ), our result shows the existence of non-trivial smooth flows defined for all times .
@article{AIF_1997__47_1_139_0, author = {Serre, Denis}, title = {Solutions classiques globales des \'equations {d'Euler} pour un fluide parfait compressible}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {139--153}, publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier}, volume = {47}, number = {1}, year = {1997}, doi = {10.5802/aif.1563}, mrnumber = {98a:35108}, zbl = {0864.35069}, language = {fr}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1563/} }
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Serre, Denis. Solutions classiques globales des équations d'Euler pour un fluide parfait compressible. Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997) no. 1, pp. 139-153. doi : 10.5802/aif.1563. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1563/
[1] Temps de vie des solutions régulières des équations d'Euler compressibles axisymétriques en dimension deux, Inventiones Mathematicae, vol 111 (1993), 627-678. | EuDML | MR | Zbl
,[2] Dynamique des gaz à masse totale finie, Asymptotic Analysis, vol 3 (1990), 215-220. | MR | Zbl
,[3] Problèmes de Cauchy pour les systèmes quasi-linéaires d'ordre un strictement hyperboliques, in Les équations aux dérivées partielles, Colloques internationaux du CNRS, vol 117, 33-40, Paris 1963. | MR | Zbl
,[4] Development of singularities of solutions of nonlinear hyperbolic partial differential equations, J. Math. Phys., vol 5 (1964), 611-613. | MR | Zbl
,[5] Existence globale de solutions pour les équations de Navier-Stokes compressibles isentropiques, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, vol 316 (1993), 1335-1340 et : Compacité des solutions des équations de Navier-Stokes compressibles isentropiques, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, vol 317 (1993), 115-120. | MR | Zbl
,[6] Sur la solution à support compact de l'équation d'Euler compressible, Japan J. Appl. Math., vol 3 (1986), 249-257. | MR | Zbl
, et ,[7] Compressible fluid flows and systems of conservation laws in several space variables, Appl. Math. Sci. Ser., vol 53. Springer-Verlag, Berlin, 1983. | MR | Zbl
,[8] Systèmes de lois de conservation, Diderot, Paris, 1996. | MR | Zbl
,[9] Formation of singularities in three-dimensional compressible fluids, Commun. Math. Phys., vol 101 (1985), 475-485. | MR | Zbl
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