Crible et 3-rang des corps quadratiques

Belabas, Karim

Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 4, pp. 909-949.

Considérons le cardinal $h_3^{*}\left(\Delta \right)$ de l’ensemble des racines cubiques de l’unité dans le groupe des classes de $\mathbb{Q}\left(\sqrt{\Delta }\right)$, où $\Delta$ est un discriminant fondamental. Un résultat de Davenport et Heilbronn calcule la valeur moyenne de ces nombres quand $\Delta$ varie. On obtient ici géométriquement une borne explicite pour le reste, avec la possibilité supplémentaire de restreindre les $\Delta$ à des progressions arithmétiques. Des techniques de crible permettent alors d’évaluer la 3-partie des $\mathbb{Q}\left(\sqrt{\pm P_k}\right)$, où $P_k$ est pseudo-premier d’ordre $k$. On contrôle ainsi simultanément le 2-rang et le 3-rang du groupe des classes $\mathrm{Cl}\left(\mathbb{Q}\right(\sqrt{\Delta }\left)\right)$. L’auteur donne en particulier une borne pour le 3-rang en moyenne des $\mathbb{Q}\left(\sqrt{\pm p}\right)$, où $p$ est premier.

Call $h_3^{*}\left(\Delta \right)$ the number of cube roots of unity in the class group of $\mathbb{Q}\left(\sqrt{\Delta }\right)$, where $\Delta$ is a fundamental discriminant. Davenport and Heilbronn computed the mean value of these numbers when $\Delta$ tends to $\pm \infty$. The author gives a general geometric argument yielding an explicit bound for the error term, with the additional possibility of restricting $\Delta$ to arithmetic progressions. Sieve techniques then produce results about the 3-parts of the groups $\mathrm{Cl}\left(\mathbb{Q}\right(\sqrt{\Delta }\left)\right)$, where $P_k$ is an almost-prime of order $k$. In this way, one controls simultaneously both the 2-rank and the 3-rank of the class group $\mathrm{Cl}\left(\mathbb{Q}\right(\sqrt{\Delta }\left)\right)$. As a special case, the author gives a bound for the mean 3-rank of the $\mathbb{Q}\left(\sqrt{\pm p}\right)$, where $p$ is prime.

[1] R. Benedetti and J.-J. Risler, Real algebraic and semi-algebraic sets, Hermann, 1990. | MR | Zbl

[2] D.A. Buell, Binary quadratic forms, Springer-Verlag, 1989. | Zbl

[3] H. Cohen and H. W. Lenstra Jr., Heuristics on class groups of number fields, in Number Theory, Noordwijkerhout 1983, Lecture Notes in Math. n° 1068, Springer-Verlag, 1984. | Zbl

[4] B. Datskovsky and D.J. Wright, Density of discriminants of cubic extensions, J. reine. angew. Math., 386 (1988), 116-138. | MR | Zbl

[5] H. Davenport, On a principle of Lipschitz, J. Lond. Math. Soc., 26 (1951), 179-183. | MR | Zbl

[6] H. Davenport, On the class number of binary cubic forms (I), J. Lond. Math. Soc., 26 (1951), 183-192 (erratum, ibid. 27 (1951), p. 512). | Zbl

[7] H. Davenport, On the class number of binary cubic forms (II), J. Lond. Math. Soc., 26 (1951), 192-198. | MR | Zbl

[8] H. Davenport and H. Heilbronn, On the density of discriminants of cubic fields (I), Bull. Lond. Math. Soc., 1 (1969), 345-348. | MR | Zbl

[9] H. Davenport and H. Heilbronn, On the density of discriminants of cubic fields (II), Proc. Roy. Soc. Lond. A, 322 (1971), 405-420. | MR | Zbl

[10] E. Fouvry, Sur le comportement en moyenne du rang des courbes y2 = x3 + k, in Séminaire de Théorie des Nombres Paris, 1990-1991, Birkhäuser, 1993, 61-83. | Zbl

[11] H. Halberstam and H.E. Richert, Sieve methods, Academic Press, 1974. | MR | Zbl

[12] H. Hasse, Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörper-theoretischer Grundlage, Math. Zeitschrift, 31 (1930), 565-582. | JFM

[13] H. Iwaniec, A new form of the error term in the linear sieve, Acta. Arith., 37 (1980), 307-320. | MR | Zbl

[14] H. Iwaniec, Rosser's sieve, Acta. Arith., 36 (1980), 171-202. | MR | Zbl

[15] N.M. Katz, Perversity and exponential sums, Adv. Stud. in Pure Math., 17 (1989), 210-259. | MR | Zbl

[16] N.M. Katz and G. Laumon, Transformation de Fourier et majoration de sommes exponentielles, Pub. Math. IHES, 62 (1985), 361-418. | Numdam | MR | Zbl

[17] G.-B. Mathews, On the reduction and classification of binary cubic which have a negative discriminant, Proc. London Math. Soc., 10 (1912), 128-138. | JFM

[18] J. Quer, Corps quadratiques de 3-rang 6 et courbes elliptiques de rang 12, C. R. Acad. Sciences, série I Math., 305 (1987), 215-218. | MR | Zbl

[19] M. Sato and T. Shintani, On zeta functions associated with prehomogenous vector spaces, Ann. of Math., 100 (1974), 131-170. | MR | Zbl

[20] T. Shintani, On Dirichlet series whose coefficients are class numbers of integral binary cubic forms, J. Math. Soc. Japan, 24 (1972), 132-188. | MR | Zbl

[21] T. Shintani, On zeta-functions associated with the vector space of quadratic forms, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sec. Ia, 22 (1975), 25-66. | MR | Zbl

[22] G. Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Pub. Inst. Élie Cartan, 1990. | Zbl

[23] H. Weyl, On the volume of tubes, Amer. J. of Math., 61 (1939), 461-472. | JFM | Zbl