A differential geometric characterization of invariant domains of holomorphy

Fels, Gregor

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 5, pp. 1329-1351.

Soit $G=K^{ℂ}$ un groupe complexe réductif. Nous caractérisons les ouverts $\Omega \subset G$ et les fonctions plurisousharmoniques invariantes par l’action à droite du sous-groupe compact maximal $K$ par rapport aux objets associés à l’ espace riemannien symétrique $M:=G/K$. Nous montrons qu’un ouvert lisse et invariant est Stein si et seulement si l’ouvert associé ${\Omega }_M:=\Omega /K\subset M$ est géodésiquement convexe et la courbure sectionnelle de bord $S:=\partial {\Omega }_M$ est telle que $K^S\left(E\right)\ge K^M\left(E\right)+k(E,n)$, ou $k(E,n)$ dépend seulement du vecteur normal $n$ et du plan tangent $E$ de dimension deux.

Let $G=K^{ℂ}$ be a complex reductive group. We give a description both of domains $\Omega \subset G$ and plurisubharmonic functions, which are invariant by the compact group, $K$, acting on $G$ by (right) translation. This is done in terms of curvature of the associated Riemannian symmetric space $M:=G/K$. Such an invariant domain $\Omega$ with a smooth boundary is Stein if and only if the corresponding domain ${\Omega }_M\subset M$ is geodesically convex and the sectional curvature of its boundary $S:=\partial {\Omega }_M$ fulfills the condition $K^S\left(E\right)\ge K^M\left(E\right)+k(E,n)$. The term $k(E,n)$ is explicitly computable and depends only on the normal vector $n$ and the two dimensional tangent plane $E$.

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