Classe de conjugaison du frobenius des variétés abéliennes à réduction ordinaire

Noot, Rutger

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 5, pp. 1239-1248.

Soient $X$ une variété abélienne sur un corps de nombres $E$ et $G$ son groupe de Mumford–Tate. Soit $v$ une valuation de $E$ et pour tout nombre premier $\ell$ tel que $v\left(\ell \right)=0$, soit $F_{\ell }\in G({\mathbf{Q}}_{\ell })$ l’automorphisme de Frobenius (géométrique) de la cohomologie étale $\ell$-adique de $X$. On montre que si $X$ a une bonne réduction ordinaire en $v$, alors il existe $F\in G\left(\mathbf{Q}\right)$ tel que, pour tout $\ell$, $F_{\ell }$ soit conjugué à $F$ dans $G\left({\mathbf{Q}}_{\ell }\right)$. On montre un résultat analogue pour le frobenius de la cohomologie cristalline de la réduction de $X$ modulo $v$.

Let $X$ be an abelian variety over a number field $E$ and let $G$ be its Mumford–Tate group. Let $v$ be a valuation of $E$ and for each prime number $\ell$ with $v\left(\ell \right)=0$, let $F_{\ell }\in G({\mathbf{Q}}_{\ell })$ be the (geometric) Frobenius automorphism of the $\ell$-adic étale cohomology of $X$. It is shown that if $X$ has good and ordinary reduction at $v$, then there is an element $F\in G\left(\mathbf{Q}\right)$ such that, for each $\ell$, $F_{\ell }$ is conjugate to $F$ inside $G\left({\mathbf{Q}}_{\ell }\right)$. We prove a similar result for the frobenius on the crystalline cohomology of the reduction of $X$ modulo $v$.

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