no. 4
Axiome du cube et foncteurs de Quillen
Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 4, pp. 1061-1077.

Les approches de Whitehead et de Ganea, conceptuellement différentes, permettent toutes deux la définition de la catégorie de Lusternik et Schnirelmann. Le premier auteur a montré qu’elles existent dans le cadre des catégories à modèles de Quillen et qu’elles coïncident lorsqu’est vérifié un axiome supplémentaire non autodual, l’axiome du cube. Nous étendons ici cette étude au cadre de catégories à modèles non nécessairement propres et ne vérifiant pas l’axiome du cube. Pour cela, l’hypothèse globale est transformée en une condition sur une famille de morphismes : les flèches du cube. Nous étudions ensuite l’image des flèches du cube par un couple de foncteurs adjoints de Quillen et illustrons cette présentation par la chaîne de foncteurs apparaissant en homotopie rationnelle.

The two definitions of the Lusternik and Schnirelmann category, due to Whitehead and Ganea, conceptually differ from each other. The first author showed that they exist within Quillen’s model categories, and coincide when a further non autodual axiom is assumed, namely the cube axiom. Here we extend this study within model categories which are not necessarily proper and do not satisfy the cube axiom. For this, the global hypothesis of this axiom is transformed into a condition on a class of morphisms, namely the cube maps. We then study the image of cube maps by a Quillen’s couple of adjoint functors. We finally consider the example of the chain of functors appearing in rational homotopy.

@article{AIF_1995__45_4_1061_0,
     author = {Doeraene, Jean-Pierre and Tanr\'e, Daniel},
     title = {Axiome du cube et foncteurs de {Quillen}},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1061--1077},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {45},
     number = {4},
     year = {1995},
     doi = {10.5802/aif.1484},
     mrnumber = {96i:55030},
     zbl = {0833.55005},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1484/}
}
TY  - JOUR
AU  - Doeraene, Jean-Pierre
AU  - Tanré, Daniel
TI  - Axiome du cube et foncteurs de Quillen
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1995
SP  - 1061
EP  - 1077
VL  - 45
IS  - 4
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1484/
DO  - 10.5802/aif.1484
LA  - fr
ID  - AIF_1995__45_4_1061_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Doeraene, Jean-Pierre
%A Tanré, Daniel
%T Axiome du cube et foncteurs de Quillen
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1995
%P 1061-1077
%V 45
%N 4
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1484/
%R 10.5802/aif.1484
%G fr
%F AIF_1995__45_4_1061_0
Doeraene, Jean-Pierre; Tanré, Daniel. Axiome du cube et foncteurs de Quillen. Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 4, pp. 1061-1077. doi : 10.5802/aif.1484. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1484/

[1]H. Baues, Algebraic homotopy, Cambridge University Press, 1989. | MR | Zbl

[2]A.K. Bousfield, E. Friedlander, Homotopy theory of Γ-spaces, spectra and bisimplicial sets, Lecture Notes in Math. 658, Springer Verlag (1978), 80-130. | MR | Zbl

[3]J.P. Doeraene, LS-category in a model category, Journal of Pure and Appl. Algebra, 84 (1993), 215-261. | MR | Zbl

[4]T. Ganea, Cogroups and Suspensions, Inventiones Math., 9 (1970), 185-197. | MR | Zbl

[5]K.P. Hess, J.M. Lemaire, Generalizing a definition of Lusternik and Schnirelmann to model categories, Journ. of Pure and Applied Algebra, 91 (1994), 165-182. | MR | Zbl

[6]T. Kahl, M. Kienzler, Diplomarbeit am Freie Universität Berlin.

[7]L. Lusternik, L. Schnirelmann, Méthodes topologiques dans les problèmes variationnels, Hermann, Paris, 1934. | JFM | Zbl

[8]M. Mather, Pull-backs in Homotopy Theory, Can. J. Math., 28-2 (1976), 225-263. | MR | Zbl

[9]D. Quillen, Homotopical Algebra, Lecture Notes in Math., 43, Springer Verlag, 1967. | MR | Zbl

[10]D. Quillen, Rational Homotopy theory, Ann. of Math., 90 (1969), 205-295. | MR | Zbl

Cité par Sources :