Actions localement libres de groupes résolubles

Belliart, Michel; Birembaux, Olivier

Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 5, pp. 1519-1537.

Soient $G$ un groupe de Lie connexe de dimension $n-1$, $\Phi$ une action localement libre de classe $C^r(r\ge 2)$ de $G$ sur une variété compacte $M$ de dimension $n\ge 3$. Nous supposons qu’il existe dans l’algèbre de Lie de $G$ un champ $Y$ tel que les valeurs propres de $\mathrm{ad}\left(Y\right)$ soient ${\alpha }_1,...,{\alpha }_{n-2},0$ avec $\mathrm{Re}\left({\alpha }_i\right)<0\forall i$. Alors, nous montrons que $\Phi$ est $C^r$-conjuguée à une “action modèle" de $G$ sur un espace homogène $H/\Gamma$ où $H$ est un groupe de Lie contenant $G$. Si $n\ge 4$, $H$ est uniquement déterminé par $G$; si $n=3$, il y a deux groupes $H$ possibles, et nous pouvons donc donner une classification complète. D’autre part, nos hypothèses impliquent que $G$ a une structure particulière, mais il existe quand même de nombreux exemples : notamment, la famille des groupes $G$ ayant cette propriété est continue en toute dimension $\ge 4$ ; pour un choix générique de $G$, le groupe $H$ correspondant n’a aucun quotient compact de dimension $n$, et ceci fournit une famille continue de groupes de Lie ne possédant aucune action de codimension 1 “suffisamment régulière” sur une variété compacte. Ces résultats sont liés à la théorie d’Anosov.

Let $G$ be a connected $(n-1)$-dimensional Lie group and $\Phi$ a $C^r(r\ge 2)$ locally free action of $G$ on a compact $n$-dimensional manifold ($n\ge 3$). We assume that the Lie algebra of $G$ contains a field $Y$ such that the eigenvalues of $\mathrm{ad}\left(Y\right)$ are ${\alpha }_1,...,{\alpha }_{n-2},0$ with $\mathrm{Re}\left({\alpha }_i\right)<0$. Then, we show that $\Phi$ is $C^r$-conjugated to a homogeneous action of $G$ on $H/\Gamma$ where $H$ is a Lie group containing $H$ and $\Gamma$ a lattice of $H$. We provide many examples, related to Anosov theory.

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