Nous considérons les champs de vecteurs analytiques de de partie linéaire diagonale non nulle et dont les valeurs propres vérifient des relations de résonances toutes engendrées par une seule relation pour un certain vecteur non nul. Nous montrons que, dans un système de coordonnées locales holomorphes au voisinages de , de tels champs de vecteurs se “mettent" sous une forme normale partielle, tout en exhibant des variétés invariantes, si l’on fait une hypothèse de petits diviseurs diophantiens. Nos résultats généralisent, à une dimension quelconque, ceux en dimension 2 de H. Dulac.
We shall consider holomorphic vector fields of with a non zero diagonal linear part and which eigenvalues satisfy to some resonnance’s relations all generated by one relation for a non zero vector . We shall show that such vector fields can be transformed, by a local holomorphic diffeomorphism near , into a preliminary normal forms while exhibiting invariant varieties, if an hypothesis of diophantine small divisors is made. Our results generalize, to any dimension, those done by H. Dulac in dimension 2.
@article{AIF_1994__44_5_1397_0, author = {Stolovitch, Laurent}, title = {Sur un th\'eor\`eme de {Dulac}}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {1397--1433}, publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier}, volume = {44}, number = {5}, year = {1994}, doi = {10.5802/aif.1439}, mrnumber = {96a:34021}, zbl = {0820.34023}, language = {fr}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1439/} }
TY - JOUR AU - Stolovitch, Laurent TI - Sur un théorème de Dulac JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1994 SP - 1397 EP - 1433 VL - 44 IS - 5 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1439/ DO - 10.5802/aif.1439 LA - fr ID - AIF_1994__44_5_1397_0 ER -
Stolovitch, Laurent. Sur un théorème de Dulac. Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 5, pp. 1397-1433. doi : 10.5802/aif.1439. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1439/
[AA88] Encyclopaedia of Mathematical Sciences : Dynamical Systems I, Springer-Verlag, 1988.
et ,[Arn80] Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires, Mir, 1980. | MR | Zbl
,[Bru72] The analytical form of differential equations, Trans. Mosc. Math. Soc., 25 (1971), 131-288 ; 26 (1972), 199-239. | Zbl
,[Bru89] Local methods in nonlinear differential equations, Springer Series in Soviet Mathematics, Springer Verlag, 1989. | Zbl
,[CKP78] The Topology of Holomorphic Flows with Singularity, I.H.E.S., 48 (1978), 5-38. | Numdam | MR | Zbl
, et ,[CS] Pontos singulares de equaçoes diferencais analiticas, 16 Coloquio Brasileiro de Matematica.
et ,[DDS94] Normal Forms of Differential Systems, 1994, Ed. E. Tournier, London Mathematical Society Lecture Note Series 193, p 143-184. | MR | Zbl
et ,[Dul04] Recherches sur les points singuliers des équations différentielles, J. Ecole Polytechnique, 2,9 (1904), 1-125. | JFM
,[Dul23] Sur les cycles limites, Bull. Soc Math. France, 51 (1923), 45-188. | JFM | Numdam
,[Eca92] Singularités non abordables par la géométrie, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 42, 1-2 (1992), 73-164. | Numdam | MR | Zbl
,[Eli90] Generalisation of an estimate of small divisors by Siegel, pages 283-299, Rabinowitz, Zehnder editors, Academic Press, analysis, et cetera edition, 1990. | MR | Zbl
,[Fra80] Singularités en géométrie locale isochore et applications à l'étude des champs de vecteurs, PhD thesis, Université Joseph Fourier Grenoble, France, 1980.
,[IP86] Materialization of resonances and divergence of normalizing series for polynomial differential equations, J. Soviet Math., 31 (1986), 300-313. | Zbl
et ,[Mal82] Travaux d'Ecalle et de Martinet-Ramis sur les systèmes dynamiques, Sém. Bourbaki 1981-1982, exp. 582 (1982). | Numdam | Zbl
,[Mar80] Normalisation des champs de vecteurs holomorphes, Séminaire Bourbaki, 33 (1980-1981), 564. | Numdam | Zbl
,[MC88] Groupes d'automorphismes de (ℂ,0) et équations différentielles ydy + ... = 0, Bull. Soc. Math. France, 16 (1988), 459-488. | Numdam | MR | Zbl
et ,[MM80] Intégrales premières et holonomie, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 13 (1980) 469-523. | Numdam | MR | Zbl
et ,[MR85] Analytic Classification of Resonant Saddles and Foci, 1985, North-Holland. | MR | Zbl
et ,[Pos86] On invariant manifolds of complex analytic mappings near fixed points, Expo. Math., 4, (1986), 97-109. | MR | Zbl
,[RM82] Problèmes de modules pour des équations différentielles non linéaires du premier ordre, I.H.E.S, 55 (1982), 63-164. | Numdam | MR | Zbl
et ,[RM83] Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonantes du premier ordre, Ann. Sci. E.N.S., 4ème série, 16 (1983), 571-621. | Numdam | MR | Zbl
et ,[Sie42] Iterations of analytic functions, Ann. Math., 43 (1942) 807-812. | Zbl
,[Yoc88] Linéarisation des germes de difféomorphismes holomorphes de (ℂ,0), C.R. Acad. Sci. Paris, 306 (1988) 55-58. | MR | Zbl
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