Une formule de Riemann-Hurwitz pour le groupe de Selmer d'une courbe elliptique

Michel, Alexis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 1, pp. 57-84.

Soit $E$ une courbe elliptique avec multiplication complexe, définie sur un corps de nombres $F$. Soit $p$ un nombre premier. En ajoutant certains points de $p$-torsion de $E$ à $F$, on construit une ${\mathbb{Z}}_p$-extension $F_{\infty }$ de $F$. On associe à $F_{\infty }$ un groupe de Selmer.

Pour une $p$-extension galoisienne de $F_{\infty }$, Wingberg a montré, sous les conjectures arithmétiques usuelles, un analogue de la formule de Riemann-Hurwitz pour le corang du groupe de Selmer en haut de la tour. Nous donnons une nouvelle preuve de ce résultat dans l’esprit de Chevalley et Weil. Ainsi nous mettons en évidence l’analogie qui existe avec la formule de Kida pour l’invariant lambda classique, ou encore avec un résultat de Deuring et Shafarevitch sur l’invariant de Hasse des courbes d’Artin-Schreier.

Nous donnons ensuite une généralisation dans un cas non galoisien.

Dans ce contexte, nous obtenons aussi l’analogue des formules de Kani sur le genre de familles de revêtements de courbes algébriques.

Let $E$ be an elliptic curve with complex multiplication, defined over a number field $F$. Denote by $p$ an odd prime. Adding certain $p$-torsion points of $E$ to $F$, we construct a ${\mathbb{Z}}_p$-field $F_{\infty }$. We attach to $F_{\infty }$ a Selmer group which is closely related to the usual one for $F$.

For a Galois $p$-extension of $F$, Wingberg established, under the usual arithmetic conjectures, a Riemann-Hurwitz formula for the codimension of the Selmer group at the top of the tower. We give a new proof of this result in the spirit of Chevalley and Weil. This points out the analogy with Kida’s formula for the classical lambda invariant, and with a well-known theorem of Deuring and Shafarevich on the Hasse invariant for Artin-Schreier curves.

Next we obtain a generalization to a non-Galois case.

In this context, we also have the analogue for Kani’s formulae on the quotient genus of algebraic curves.

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