Sur la structure des groupes de classes relatives. Avec un appendice d'exemples numériques par T. Berthier

Gras, Georges

Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 1, pp. 1-20.

Suite aux travaux de R. Schoof et de H.W. Lenstra–R. Schoof, nous donnons une méthode permettant de trouver, pour tout $p$ premier ne divisant pas $[F:\mathbb{Q}]$, un système de générateurs du $p$-groupe des classes relatives du corps abélien imaginaire $F$, ceci avec la seule connaissance de nombres de Bernoulli $B_1({\psi }^{-1})$. Des exemples numériques sont donnés pour $p=3$ et $p=5$, dans le cadre des extensions cycliques de degré 2 et 4. Le premier exemple de $p$-groupe des classes possédant une $\chi$-composante non monogène (pour un caractère ${\mathbb{Q}}_p$-irréductible $\chi$ impair non quadratique) a été trouvé par T. Berthier avec $p=5$, et le corps quartique cyclique de conducteur $37\times 541$ contenant $\mathbb{Q}(\sqrt{37}$).

Following results by R. Schoof and by H.W. Lenstra–R. Schoof, we give a method allowing to find, for all prime $p$ not dividing $[F:\mathbb{Q}]$, a system of generators of the relative $p$-class group of the imaginary abelian field $F$, only with the knowledge of Bernoulli numbers $B_1({\psi }^{-1})$. Numerical examples are given for $p=3$ and $p=5$ about cyclic extensions of degrees 2 and 4. The first example of $p$-class group having a non cyclic $\chi$-component (for a ${\mathbb{Q}}_p$-irreducible odd and not quadratic character $\chi$) has been found by T. Berthier for $p=5$, and the cyclic quartic field of conductor $37\times 51$ containing $\mathbb{Q}(\sqrt{37}$).

[B] T. Berthier, Étude numérique des p-groupes de classes des corps abéliens (en préparation).

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