Solutions positives et mesure harmonique pour des opérateurs paraboliques dans des ouverts «lipschitziens»

Heurteaux, Yanick

Annales de l'Institut Fourier, Tome 41 (1991) no. 3, pp. 601-649.

Soit $L$ un opérateur parabolique sur ${\mathbf{R}}_{n+1}$ écrit sous forme divergence et à coefficients lipschitziens relativement à une métrique adaptée. Nous cherchons à comparer près de la frontière le comportement relatif des $L$-solutions positives sur un domaine “lipschitzien”. Dans un premier temps, nous démontrons un principe de Harnack uniforme pour certaines $L$-solutions positives. Ce principe nous permet alors de démontrer une inégalité de Harnack forte à la frontière pour certains couples de $L$-solutions positives. Nous sommes alors en mesure de généraliser aux opérateurs $L$ des résultats de J. T. Kemper : nous caractérisons la frontière de Martin des ouverts “lipschitziens” et montrons que les $L$-solutions positives sur ces ouverts admettent des limites non tangentielles hors d’un ensemble négligeable pour la mesure harmonique. Enfin, dans une dernière partie, nous établissons pour des ouverts un peu plus réguliers, l’équivalence entre mesure harmonique, mesure harmonique adjointe et mesure de surface, précisant ainsi des travaux de J.M. Wu et R. Kaufman.

Let $L$ be a parabolic operator on ${\mathbf{R}}^{n+1}$ written in divergence form and with Lipschitz coefficients relatively to an adapted metric. We compare, near the boundary, the relative behavior of positive $L$-solutions on a Lipschitz domain. We first establish a so-called weak boundary Harnack principle. We then establish a uniform Harnack principle for certain particular positive $L$-solutions. This principle then allows us to prove another strong boundary Harnack principle for certain pairs of positive $L$-solutions. Then, we can generalize to $L$-operators some of J. T. Kemper results: we characterize the Martin boundary for “Lipschitz” domains and we show that the positive $L$-solutions on such domains admit non tangential limits except for a negligible set with respect to harmonic measure. Finally, in the last part, and for slightly more regular domains, we establish the equivalence between harmonic measure, adjoint harmonic measure and surface measure thus developing some results of J. M. Wu and R. Kaufman.

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