Partial differential operators depending analytically on a parameter

Mantlik, Frank

Annales de l'Institut Fourier, Tome 41 (1991) no. 3, pp. 577-599.

Soit $P(\lambda ,D)$ un opérateur différentiel à coefficients constants sur ${\mathbf{R}}^n$ dépendant analytiquement d’un paramètre $\lambda$ dans une variété complexe $\Lambda$. Supposons que, pour deux valeurs quelconques ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ du paramètre, $P({\lambda }_1,D)$ et $P({\lambda }_2,D)$ sont également forts, Il a été démontré par F. Trèves que cette hypothèse est suffisante et nécessaire (si $\Lambda$ est connexe) pour établir l’existence locale de fonctions analytiques ${𝔣}_{\lambda }$ de $\lambda$ satisfaisant à l’équation $P(\lambda ,D){𝔣}_{\lambda }\equiv \delta$ ($\delta =$ mesure de Dirac : ${𝔣}_{\lambda }$ est donc une solution élémentaire de $P(\lambda ;D)$). Alors L. Hörmander a posé la question si ${𝔣}_{\lambda }$ peut être choisi analytique dans $\Lambda$ entière.

Dans le travail présent nous considérons plus généralement une fonction analytique ${𝔤}_{\lambda }$ de $\lambda$ à valeurs dans un espace de distributions d’ordre fini. Nous allons construire une fonction analytique ${𝔣}_{\lambda }$ telle que $P(\lambda ,D){𝔣}_{\lambda }={𝔤}_{\lambda }$ pour chaque $\lambda \in \Lambda$.

Let $P(\lambda ,D)={\sum }_{\left|\alpha \right|\le m}{a}_{\alpha }\left(\lambda \right)D^{\alpha }$ be a differential operator with constant coefficients $a_{\alpha }$ depending analytically on a parameter $\lambda$. Assume that the family $\{$ P($\lambda$,D)$\}$ is of constant strength. We investigate the equation $P(\lambda ,D){𝔣}_{\lambda }\equiv g_{\lambda }$ where ${𝔤}_{\lambda }$ is a given analytic function of $\lambda$ with values in some space of distributions and the solution ${𝔣}_{\lambda }$ is required to depend analytically on $\lambda$, too. As a special case we obtain a regular fundamental solution of P($\lambda$,D) which depends analytically on $\lambda$. This result answers a question of L. Hörmander.

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