Capacitary strong type estimates in semilinear problems

Adams, D.; Pierre, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 41 (1991) no. 1, pp. 117-135.

Nous montrons l’équivalence de diverses estimations capacitaires de type fort. Certaines d’entre elles apparaissent dans la caractérisation des mesures $\mu$ qui sont admissibles pour l’existence de solutions de problèmes elliptiques semi-linéaires avec croissance polynomiale. D’autres sont bien connues comme caractérisant les mesures $\mu$ telles que l’espace de Sobolev $W^{2,p}$ s’injecte continûment dans $L^p\left(\mu \right)$. La motivation vient essentiellement des problèmes semilinéaires : des descriptions très simples des données admissibles peuvent être ainsi données. La démonstration utilise de façon assez surprenenante la théorie des intégrales singulières avec poids de type $A_p$.

We prove the equivalence of various capacitary strong type estimates. Some of them appear in the characterization of the measures $\mu$ that are admissible data for the existence of solutions to semilinear elliptic problems with power growth. Other estimates are known to characterize the measures $\mu$ for which the Sobolev space $W^{2,p}$ can be imbedded into $L^p\left(\mu \right)$. The motivation comes from the semilinear problems: simpler descriptions of admissible data are given. The proof surprisingly involves the theory of singular integrals with $A_p$-weights.

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