Sur les points où une fonction analytique prend des valeurs entières

Bézivin, Jean-Paul

Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990) no. 4, pp. 785-809.

Un théorème bien connu de Pólya montre que si $f\left(z\right)$ est une fonction entière d’une variable complexe telle que $f\left(n\right)$ appartienne à $\mathbb{Z}$ pour tout entier naturel $n$, et de type exponentiel plus petit que $log2$, alors $f$ est un polynôme. De même Gel’fond a montré que si $q$ est un entier naturel plus grand que 1, si la croissance de $f$ est assez lente et si $f\left(q^n\right)$ appartient à $\mathbb{Z}$ pour tout $n$, alors $f$ est un polynôme.

Dans cet article, nous étudions le même genre de question quand les suites $n$ et $q^n$ sont remplacées par différentes suites récurrentes linéaires.

A well-known theorem of Pólya asserts that if $f\left(z\right)$ is an entire function of a complex variable of exponential type less that $log2$ and if $f\left(n\right)$ belongs to $\mathbb{Z}$ for all rational positive integers $n$, then $f$ is a polynomial. Gel’fond has shown that if $q$ is a rational integer greater than one, and if $f$ is of slow growth such that $f\left(q^n\right)$ belongs to $\mathbb{Z}$ for all positive rational integers $n$ then $f$ is a polynomial.

In this paper, we study the same kind of questions when the sequences $n$ and $q^n$ are replaced by some different linear recurrent sequences.

[1] Y. Amice, Les nombres p-adiques, Presses universitaires de France, collections Sup, Paris, 1975. | MR | Zbl

[2] A. Baker, A note on integral-valued functions of several variables, Proc. Cambridge Phil. Soc., 63 (1967), 715-720. | MR | Zbl

[3] A. Bazylewicz, Critères de reconnaissabilité de fonctions analytiques et fonctions entières arithmétiques, Acta arith., 51 (1988), 311-319. | MR | Zbl

[4] J.-P. Bézivin, Une généralisation à plusieurs variables d'un résultat de Gel'fond, Analysis, 4 (1984), 125-141. | MR | Zbl

[5] P. Bundschuh, Arithmetische Eigenschaften ganzer Funktionen mehrerer Variablen, J. für die reine angw. Math., 313 (1980), 116-132. | MR | Zbl

[6] A. O. Gelfond, Sur les fonctions entières qui prennent des valeurs entières aux points βn, Mat. Sb., 40 (1933), 42-47. | JFM | Zbl

[7] F. Gramain, Fonctions entières arithmétiques. Séminaire P. Lelong-H. Skoda (Analyse) 1976-1977, Springer LN in Math., n° 694 (1978), 96-125. | MR | Zbl

[8] F. Gramain, Fonctions entières d'une ou plusieurs variables complexes prenant des valeurs entières sur une progression géométrique. Cinquante ans de polynômes, Proc. Paris, 1988 (M. Langevin et M. Waldschmidt, éd.), Springer LN in Math., n° 1415 (1990), 123-137. | MR | Zbl

[9] N. Hirata, Indépendance linéaire de fonctions arithmétiques et presque arithmétiques, Public Univ. P. et M. Curie, n° 79, exposé 4, 1985-1986.

[10] C. Pisot, Sur les fonctions arithmétiques à croissance exponentielle, CRAS, 222 (1946), 988-990. | MR | Zbl

[11] C. Pisot, Über ganzwertige ganze Funktionen, Jahrber Deutsche Math. Verein, 52 (1942), 95-102. | JFM | MR | Zbl

[12] C. Pisot, Sur les fonctions arithmétiques et presque arithmétiques, CRAS, 222 (1946), 1027-1028. | MR | Zbl

[13] G. Polya, Über ganzwertige ganze Funktionen, Rend. circ. Math. Palermo, 40 (1915), 1-16. | JFM

[14] R. Robinson, Integer-valued entire functions, Trans. Amer. Math. Soc., 153 (1971), 451-468. | MR | Zbl

[15] G. Valiron, General theory of integral functions, Chelsea publ. comp., New York, 1949.

[16] R. Wallisser, On entire functions assuming integer values in a geometric sequence. Théorie des nombres, C.R. Conf. Internat. Univ. Laval, 1987 (J. M. de Koninck et C. Levesque, éd.) de Gruyter, (1989), 981-989. | MR | Zbl