Enveloppes polynomiales d’unions de plans réels dans ${ℂ}^n$

Thomas, Pascal J.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990) no. 2, pp. 371-390.

En reprenant le travail de Weinstock concernant l’union de deux sous-espaces, nous montrons que ${ℂ}_n$ peut être obtenu comme l’union d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels totalement réels maximaux, pour tout $n$ supérieur à un. Ceci contraste avec le cas des droites complexes de ${ℂ}^2$, dont il faut un ensemble de capacité positive pour que l’enveloppe soit tout l’espace. On étudie aussi le cas des trois plans réels de ${ℂ}^2$ : si les trois unions deux à deux ne sont pas polynomialement convexes, alors l’enveloppe contient un cône ouvert mais n’est pas ${ℂ}^2$ tout entier.

Building on the work of Weinstock about the union of two subspaces, we show that ${ℂ}^n$ can be obtained as the polynomially convex hull of a finite union of maximal totally real vector subspaces for any n greater than one. This is in sharp contrast with the fact that it takes a set of positive capacity of complex lines in ${ℂ}^2$ to obtain the whole space as hull. The special case of three real planes of ${ℂ}^2$ is studied: if the three pairwise unions are not polygonally convex, the hull contains an open cone but is smaller than ${ℂ}^2$.

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[5] N. Sibony, P.-M. Wong, Some results on global analytic sets. Séminaire Pierre Lelong-Henri Skoda (Analyse) Années 1978/1979, pp. 221-237 (Lecture Notes n° 822). Berlin Heidelberg New York : Springer-Verlag 1980. | MR | Zbl

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[7] P. J. Thomas, Unions minimales de n-plans réels d'enveloppe égale à ℂn, à paraître dans Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (Santa Cruz, 1989), American Mathematical Society.

[8] B. M. Weinstock, On the polynomial convexity of the union of two maximal totally real subspaces of ℂn, Math. Ann., 282 (1988) 131-138. | MR | Zbl