Sur la conjecture de Chudnovsky-Demailly et les singularités des hypersurfaces algébriques
Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990) no. 1, pp. 103-116.

Soit S une partie finie de P n , t un entier positif et ω t (S) le plus petit degré des hypersurfaces de P n ayant en chaque point de S une singularité de multiplicité t. Un théorème d’existence de J.-P. Demailly concernant le prolongement des fonctions analytiques définies au voisinage d’une sous-variété linéaire de C n nous permet d’obtenir des minorations fines de ω t (S)/t pour tout t. En particulier, nous montrons

( ω t 1 ( S ) + n - a - 1 ) / ( t 1 + n - 1 ) ω t ( S ) / t

a est la dimension de l’ensemble des points singuliers non à croisements normaux du diviseur de P lorsque deg P=ω t (S). Ceci redonne le résultat de H. Esnault et E. Viehweg par une méthode analytique assez élémentaire et contribue à renforcer la vraisemblance de la conjecture de Chudnovsky-Demailly.

Let S be a finite set in the complex projective space P n , and t a posoitive integer and let ω t (S) be the smallest degree of hypersurfaces in P n having at each point of S a singularity of multiplicity t. Thanks to an existence theorem due to J.-P. Demailly, relative to the extension of analaytic functions defined on a neighbourhood of a linear subvariety of C n , we obtain fine lower bounds on ω t (S)/t for every t. In particular we find:

( ω t 1 ( S ) + n - a - 1 ) / ( t 1 + n - 1 ) ω t ( S ) / t

in which a is the dimension of the set of singular points of the divisor of P with non normal crossings, when degP=ω t (S). This gives an elementary analytic proof of H. Esnault and E. Viehweg’s result and gives substantial support to the Chudnovsky-Demailly conjecture.

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Azhari, Abdelhak. Sur la conjecture de Chudnovsky-Demailly et les singularités des hypersurfaces algébriques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990) no. 1, pp. 103-116. doi : 10.5802/aif.1205. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1205/

[1] E. Bombieri, Algebraic values of meromorphic maps, Invent. Math., 10 (1970), 267-287 et 11, 163-166. | EuDML | MR | Zbl

[2] G.-V. Chudnovsky, Singular points on complex hypersurfaces and multi-dimensional Schwarz lemma, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 19, 1978. | Zbl

[3] J.-P. Demailly, Formules de Jensen en plusieurs variables et applications arithmétiques, Bull. Soc. Math. France, 110 (1982), 75-102. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[4] J.-P. Demailly, Estimations L2 pour l'opérateur ∂ d'un fibré vectoriel holomorphe semi-positif au-dessus d'une variété kählérienne complète, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 4e série, 15 (1982), 457-511. | Numdam | MR | Zbl

[5] H. Esnault, E. Viehweg, Sur une minoration du degré d'hypersurfaces s'annulant en certains points, Math. Ann., 263 (1983), 75-86. | MR | Zbl

[6] H. Skoda, Estimations L2 pour l'opérateur ∂ et applications arithmétiques, Séminaire P. Lelong-H. Skoda (Analyse) 1975/76, Lecture Notes in Math., Springer, 578 (1977), 314-323. | MR | Zbl

[7] M. Waldschmidt, Nombres transcendants et groupes algébriques, Astérisque, S.M.F., 69-70 (1979). | Zbl

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