Dilatations des commutants d'opérateurs pour des espaces de Krein de fonctions analytiques

Alpay, Daniel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 4, pp. 1073-1094.

Soient ${𝒦}_1$ et ${𝒦}_2$ deux espaces de Krein de fonctions analytiques dans le disque unité invariants pour l’opérateur de déplacement à gauche $R_0(R_{0}f\left(z\right)=\left(f\right(z)-f(0\left)\right)/z)$ et soit $A$ un opérateur linéaire continu de ${𝒦}_1$ dans ${𝒦}_2$ dont l’adjoint commute avec $R_0$. Nous étudions les dilatations $B$ de $A$ qui conservent cette propriété de commutation et pour lesquelles les formes hermitiennes définies par $I-A{A}^{*}$ et $I-B{B}^{*}$ ont le même nombre de carrés négatifs. Nous obtenons ainsi une version du théorème de dilatation des commutants d’opérateurs dans le cadre d’espaces de Krein de fonctions analytiques. Pour démontrer ce résultat, nous supposons que le graphe de l’opérateur $A^{*}$, dans la métrique définie par $I-A{A}^{*}$, est un espace de Pontryagin à noyau reproduisant, dont le noyau reproduisant est de la forme $(J-\Theta (z\left)J{\Theta }^{*}\right(\omega \left)\right)/(1-z{\omega }^{*})$, où $J$ est une matrice satisfaisant $J=J^{*}=J^{-1}$ et où $\Theta$ est analytique dans le disque unité et $J$-unitaire sur cercle unité.

Let ${𝒦}_1$ and ${𝒦}_2$ be two Krein spaces of functions analytic in the unit disk and invariant for the left shift operator $R_0(R_{0}f\left(z\right)=\left(f\right(z)-f(0\left)\right)/z)$, and let $A$ be a linear continuous operator from ${𝒦}_1$ into ${𝒦}_2$ whose adjoint commutes with $R_0$. We study dilations of $A$ which preserve this commuting property and such that the Hermitian forms defined by $I-A{A}^{*}$ and $I-B{B}^{*}$ have the same number of negative squares. We thus obtain a version of the commutant lifting theorem in the framework of Krein spaces of analytic functions. To prove this result we suppose that the graph of the operator $A^{*}$, in the metric defined by $I-A{A}^{*}$, is a reproducing kernel Pontryagin space of analytic functions whose reproducing kernel is of the form $(J-\Theta (z\left)J{\Theta }^{*}\right(\omega \left)\right)/(1-z{\omega }^{*})$ where $J$ is a matrix subject to $J=J^{*}=J^{-1}$ and where $\Theta$ is analytic in the unit disk and $J$-unitary on the unit circle.

[1] D. Alpay, Some Krein spaces of analytic functions and an inverse scattering problem, Michigan Math. J., 34 (1987), 349-359. | MR | Zbl

[2] D. Alpay et H. Dym, Hilbert spaces of analytic functions, inverse scattering, and operator models I, Integral Equations and operator Theory, 7 (1984), 589-641. | MR | Zbl

[3] D. Alpay et H. Dym, On applications of reproducing kernel spaces to the Schur algorithm and rational J-unitary factorization, Operator Theory : Advances and Applications 18, Birkhäuser Verlag, Basel, 1986, 89-159. | MR | Zbl

[4] D. Alpay et I. Gohberg, Unitary rational matrix functions (à paraître).

[5] N. Aronszajn, Theory of reproducing kernels, Trans. amer. Math. Soc., 68 (1950), 337-404. | MR | Zbl

[6] Gr. Arsene, Z. Ceausescu et C. Foias, On intertwining dilations VIII, Journal of Operator Theory, 4 (1980), 55-91. | MR | Zbl

[7] Gr. Arsene, T. Constantinescu et A. Gheondea, Lifting of operators and prescribed numbers of negative squares, Michigan Math. J., 34 (1987), 201-216. | MR | Zbl

[8] Gr. Arsene et A. Gheondea, Completing matrix contractions, Journal of Operator Theory, 7 (1982), 179-189. | MR | Zbl

[9] J. Ball, Models for non contractions, J. Math. Analysis Appli., 52 (1975), 235-254. | MR | Zbl

[10] J. Ball et J. W. Helton, A Beurling Lax Theorem for the Lie Group U(m, n) which contains most classical interpolation theory, J. Operator Theory, 9 (1983), 107-242. | MR | Zbl

[11] J. Bognar, Indefinite inner product spaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 78, Springer Verlag, 1974. | MR | Zbl

[12] L. De Branges, Espaces Hilbertiens de fonctions entières, Masson, 1972.

[13] L. De Branges, Some Hilbert spaces of analytic functions I, Trans. Amer. Math. Soc., 106 (1963), 445-468. | Zbl

[14] L. De Branges, Square Summable Power Series, Preprint (1988). | Zbl

[15] M. S. Brodskii, Triangular and Jordan representations of linear operators, Trans. Math. Monographs, 32, Amer. Math Soc., Providence, RI., 1971. | MR | Zbl

[16] Ph. Delsarte, Y. Genin et Y. Kamp, Pseudo Carathéodory functions and hermitian Toeplitz matrices, Phillips J. Research, 41 (1986), 1-54. | MR | Zbl

[17] M. Dritchel, A lifting theorem for bicontractions in Krein spaces, Preprint, Université de Virginie, Charlottesville, 1988.

[18] C. Foias et A. Frazho, On the Schur representation in the commutant lifting theorem, I, Operator Theory : advances and applications, 18 (1986), Birkhäuser Verlag, Basel, 1986, 207-217. | MR | Zbl

[19] A. Frazho, Three inverse scattering algorithms for the lifting theorem, Operator Theory : Advances and applications, 18, Birkhäuser Verlag, Basel 1986, 218-248. | MR | Zbl

[20] K. Hoffman, Banach spaces of analytic functions, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1962. | MR | Zbl

[21] V.P. Potapov, The multiplicative structure of J-contractive matrix functions, Amer. Math. Soc. Trans., 15 (1960), 131-243. | MR | Zbl

[22] M. Rosenblum et J. Rovnyak, Hardy classes and operator theory, Oxford University Press, 1986. | Zbl

[23] D. Sarason, Generalized interpolation in H∞, Trans. Amer. Math. Soc., 127 (1967), 179-203. | MR | Zbl

[24] J. Schur, Über Potenzreihen, die in Innern des Einheitskreises beschränkt sind, J. Reine Angew. Math., 117 (1917), 205-232. (Traduction anglaise dans Operator Theory : Advances and applications 18, Birkhäuser Verlag, Basel, 1986, 31-59.) | EuDML | JFM

[25] P. Sorjonen, Pontryagin Räume mit einem reproduzierenden Kern, Ann. Acad. Sci. Fenn Ser A., I Math., 594 (1975), 1-30. | Zbl

[26] B. Sz-Nagy et C. Foias, Commutants de certains opérateurs, Acta Sci., Math. (Szeged), 29 (1968), 1-17. | MR | Zbl

[27] B. Sz-Nagy et C. Foias, Dilatation des commutants d'opérateurs, C.R. Acad. Sci. Paris, Série A, 266 (1968), 493-495. | MR | Zbl

[28] B. Sz-Nagy et C. Foias, Harmonic analysis of operators on Hilbert space, North Holland, New York, 1970. | MR | Zbl