Partial sums of Taylor series on a circle

Katsoprinakis, E. S.; Nestoridis, V. N.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 3, pp. 715-736.

Ayant comme prototype la famille des cercles définis par trois sommes partielles d’une série de puissances, nous sommes amenés à considérer des cercles $C\left(z\right)$, $\left|z\right|=1$, comme suit:

Soient $B$, $A$, $Q$ trois polynômes et $\lambda >0$ un nombre entier, tels que, $A\left(0\right)Q\left(0\right)\ne 0$, deg$A<\mathrm{deg}Q$ et $\lambda >\mathrm{deg}B$; nous supposerons de plus que les polynômes $A$ et $Q$ n’ont pas de facteurs communs. Nous désignons par $C\left(z\right)$, $\left|z\right|=1$, le cercle avec centre $B\left(z\right)+z^{\lambda }A\left(z\right)Q(z{)}^{-1}$ et rayon $\left|z^{\lambda }A\left(z\right)Q(z{)}^{-1}\right|$. Étant donné $P$ un polynôme, nous disons que $R\left(z\right)=B\left(z\right)+z^{\lambda }P\left(z\right)$ est une “continuation”, si $R\left(z\right)\in C\left(z\right)$ pour une infinité de points $z$, $\left|z\right|=1$.

Nous démontrons que toute continuation est une somme de Taylor de $B\left(z\right)+z^{\lambda }A\left(z\right)Q(z{)}^1$. De plus, le nombre des continuations est infini, si et seulement si, le polynôme $Q$ est un facteur non constant d’un polynôme de la forme $1-(e^{i\theta }z{)}^{\rho }$, avec $\theta \in R$ et $\rho >0$.

Les résultats précédents répondent par l’affirmative à une question de J.-P. Kahane et impliquent des versions plus fortes du résultat principal de [Katsoprinakis, Arkiv for Matematik].

We characterize the power series ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{z}^n$ with the geometric property that, for sufficiently many points $z$, $\left|z\right|=1$, a circle $C\left(z\right)$ contains infinitely many partial sums. We show that ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{z}^n$ is a rational function of special type; more precisely, there are $t\in ℝ$ and $n_0$, such that, the sequence $c_n{e}^{\mathrm{int}}$, $n\ge n_0$, is periodic. This result answers in the affirmative a question of J.-P. Kahane and furnishes stronger versions of the main results of [Katsoprinakis, Arkiv for Matematik]. We are led to consider special families of circles $C\left(z\right)$ with center $g\left(z\right)$ and investigate the possibility for a polynomial $R\left(z\right)$ to satisfy $R\left(z\right)\in C\left(z\right)$ for infinitely many $z$, $\left|z\right|=1$. These polynomials are related to the partial sums of the Taylor expansion of the center function $g\left(z\right)$. We also give necessary and sufficient conditions for the existence of infinitely many such polynomials $R\left(z\right)$.

[1] J.-P. Kahane, Sur la structure circulaire des ensembles de points limites des sommes partielles d'une série de Taylor, Acta Sci. Math. (Szeged), 45, n° 1-4 (1983), 247-251. | MR | Zbl

[2] E.S. Katsoprinakis, Characterization of power series with partial sums on a finite number of circles (in Greek), Ph. D. thesis 1988, Dept. of Mathematics, University of Crete, Iraklion, Greece.

[3] E.S. Katsoprinakis, On a Theorem of Marcinkiewicz and Zygmund for Taylor series, Arkiv for Matematik, to appear. | Zbl

[4] J. Marcinkiewicz and A. Zygmund, On the behavior of Trigonometric series and power series, T.A.M.S., 50 (1941), 407-453. | JFM | MR | Zbl

[5] A. Zygmund, Trigonometric Series, 2nd edition, reprinted, Vol. I. II, Cambridge : Cambridge University Press, 1979. | Zbl