Réarrangement, inégalités maximales et théorèmes ergodiques fractionnaires

Broise, Michel; Déniel, Yves; Derriennic, Yves

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 3, pp. 689-714.

Étant donné un semi-flot mesurable $({\theta }_x{)}_{x\in {ℝ}_{+}^d}$ préservant une mesure de probabilité $\mu$ sur un espace $\Omega$, nous considérons les moyennes ergodiques $t^{-d}{\int }_{{ℝ}_{+}^d}\phi (x/t)f\circ {\theta }_{x}dx$ où $\phi$ est un “poids” à support compact sur ${ℝ}_{+}^d$, c’est-à-dire que $\phi$ vérifie $\phi \ge 0$ et $\int \phi \left(x\right)dx=1$. Nous démontrons la convergence p.p. de ces moyennes quand $t\to +\infty$ si $f$ appartient à l’espace de Lorentz défini par le poids ${\phi }^{*}$ qui est le réarrangé décroissant de $\phi$. En particulier, pour $d=1$, on obtient la convergence p.p. des moyennes de Césarò d’ordre $\alpha$ $\alpha t^{-\alpha }{\int }_0^t(t-x{)}^{\alpha -1}f\circ {\theta }_{x}dx,$ $\alpha >0,$ si $f$ appartient à l’espace de Lorentz usuel $L(1/\alpha ,1)$. Nous démontrons aussi des résultats similaires pour des moyennes discrètes. Le point crucial de la démonstration est une nouvelle inégalité maximale ergodique.

Enfin nous montrons que pour un poids $\phi$ qui a une forme “croissante”, en particulier pour les moyennes $(C,\alpha )$ avec $0<\alpha \le 1$, l’espace de Lorentz est le plus grand espace invariant par réarrangement équimesurable, pour lequel cette convergence p.p. est vraie.

Given a measurable semi-flow $({\theta }_x{)}_{x\in {ℝ}_{+}^d}$ preserving a probability measure $\mu$ on a space $\Omega$, we consider the ergodic averages $t^{-d}{\int }_{{ℝ}_{+}^d}\varphi (x/t)f\circ {\theta }_{x}dx$ where $\varphi$ is a compactly supported “weight” on ${ℝ}_{+}^d$, that is $\varphi \ge 0$ and $\int \varphi \left(x\right)dx=1$. We prove the a.e. convergence of these averages when $t\to +\infty$ if $f$ belongs to the Lorentz space defined by the weight ${\varphi }^{*}$ which is the decreasing rearrangement of $\varphi$. With $d=1$ we obtain in particular the a.e. convergence of the Cesáro-$\alpha$ averages $\alpha t^{-\alpha }{\int }_0^t(t-x{)}^{\alpha -1}f\circ {\theta }_{x}dx$, $\alpha >0$, if $f$ belongs to the usual Lorentz space $L(1/\alpha ,1).$ We prove also the similar results for discrete averages. The main step of the proof is a new maximal ergodic inequality. At last we show that for an “increasingly shaped” weight $\varphi$, in particular for the $(C,\alpha )$ averages with $0<\alpha \le 1$, the Lorentz space is the largest space, invariant under equimesurable rearrangement, for which this a.e. convergence holds.

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