Galois module structure of the rings of integers in wildly ramified extensions

Wilson, Stephen M. J.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 3, pp. 529-551.

Les résultats principaux de cet article peuvent être exprimés, grosso modo, ainsi :

Théorème.— Soit $N$ et $N^{\prime }$ des sommes d’algèbres de Galois de groupe $\Gamma$ sur des corps de nombres algébriques. Supposons que $N$ et $N^{\prime }$ ont les mêmes dimensions sur $\mathbf{Q}$ et qu’ils sont identiques à leurs places sauvagement ramifiées. Alors (mettant ${𝒪}_N$ pour l’ordre maximal dans $N$) on a

$${𝒪}_N\oplus {𝒪}_N\oplus \mathbb{Z}\Gamma {\cong }_{\mathbb{Z}\Gamma }\oplus {𝒪}_N^{\prime }\oplus {𝒪}_{N^{\prime }}\oplus \mathbb{Z}\Gamma .$$

Souvent on a : ${𝒪}_N{\cong }_{\mathbb{Z}\Gamma }{𝒪}_{N^{\prime }}.$

Soit $\chi$ un caractère de $\Gamma$. Soit, comme d’habitude, $W_{N\left(\chi \right)}$, la constante qui apparaît dans l’équation fonctionnelle de la fonction $L_N(x,\chi )$ d’Artin. On montre aussi le rôle joué par les signes $W_N\left(\chi \right)/W_N^{\prime }\left(\chi \right)$ (où parcourent les caractères symplectiques irréductibles de $\Gamma$) en décrivant la différence entre les $\mathbf{Z}\Gamma$-modules ${𝒪}_N$ et ${𝒪}_N^{\prime }$. Le théorème comprend comme cas particulier le théorème de M.J. Taylor sur la structure de l’anneau d’entiers dans une extension modérément ramifiée et il utilise beaucoup des résultats qu’utilise Taylor dans sa preuve.

The main results of this paper may be loosely stated as follows.

Theorem.— Let $N$ and $N^{\prime }$ be sums of Galois algebras with group $\Gamma$ over algebraic number fields. Suppose that $N$ and $N^{\prime }$ have the same dimension $\mathbb{Q}$ and that they are identical at their wildly ramified primes. Then (writing ${𝒪}_N$ for the maximal order in $N$)

$${𝒪}_N\oplus {𝒪}_N\oplus \mathbb{Z}\Gamma {\cong }_{\mathbb{Z}\Gamma }\oplus {𝒪}_N^{\prime }\oplus {𝒪}_{N^{\prime }}\oplus \mathbb{Z}\Gamma .$$

In many cases ${𝒪}_N{\cong }_{\mathbb{Z}\Gamma }{𝒪}_{N^{\prime }}.$

The role played by the root numbers of $N$ and $N^{\prime }$ at the symplectic characters of $\Gamma$ in determining the relationship between the $\mathbb{Z}\Gamma$-modules ${𝒪}_N$ and ${𝒪}_{N^{\prime }}$ is described. The theorem includes as a special case the theorem of M. J. Taylor on the structure of the ring of integers in a tamely ramified extension and it employs many of the results employed by Taylor in the proof of his theorem.

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