Irregularities of continuous distributions

Drmota, Michael

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 3, pp. 501-527.

Cet article considère un analogue de l’irrégularité des ensembles discrets. Si $X$ est un espace compact et $x:[0,1]\to X$ est une fonction continue (interprétée comme équation d’un mouvement), la discrépance mesure la différence entre le temps de séjour de $x\left(t\right)$ dans certains sous-ensembles et le volume de ces sous-ensembles. Le but essentiel de cet article est de démontrer des estimations inférieures de la discrépance par une fonction de la longueur de l’arc de $x\left(t\right)$, $0\le t\le 1$. De plus on démontre que les estimations sont optimales à des facteurs logarithmiques près.

This paper deals with a continuous analogon to irregularities of point distributions. If a continuous fonction $x:[0,1]\to X$ where $X$ is a compact body, is interpreted as a particle’s movement in time, then the discrepancy measures the difference between the particle’s stay in a proper subset and the volume of the subset. The essential part of this paper is to give lower bounds for the discrepancy in terms of the arc length of $x\left(t\right)$, $0\le t\le 1$. Furthermore it is shown that these estimates are the best possible despite of logarithmic factors.

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