On deformations of holomorphic foliations

Girbau, Joan; Nicolau, Marcel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 2, pp. 417-449.

Pour un feuilletage holomorphe non singulier $ℱ$ sur une variété compacte $M$, nous comparons les espaces versels $K$ et $K^{\mathrm{tr}}$ des déformations de $ℱ$ en feuilletages holomorphes et en feuilletages transversalement holomorphes, respectivement. Pour cela, nous prouvons l’existence d’un déploiement versel de $ℱ$ paramétré par un espace analytique $K^f$ isomorphe à ${\pi }^{-1}\left(0\right)\times \Sigma$, où $\Sigma$ est lisse et $\pi :K\to K^f$ est le morphisme d’oubli. On montre que l’application $\pi$ est un épimorphisme dans deux situations : (i) si $H^2(M,{\Theta }_{ℱ}^f)=0$, où ${\Theta }_{ℱ}^f$ est le faisceau des germes de champs vectoriels holomorphes et tangents à $ℱ$, et (ii) s’il existe un feuilletage holomorphe ${ℱ}^{⋔}$ transverse et supplémentaire de $ℱ$. Quand les conditions (i) et (ii) sont toutes deux vérifiées, on a $K\cong K^f\times K^{\mathrm{tr}}$.

Given a non-singular holomorphic foliation $ℱ$ on a compact manifold $M$ we analyze the relationship between the versal spaces $K$ and $K^{\mathrm{tr}}$ of deformations of $ℱ$ as a holomorphic foliation and as a transversely holomorphic foliation respectively. With this purpose, we prove the existence of a versal unfolding of $ℱ$ parametrized by an analytic space $K^f$ isomorphic to ${\pi }^{-1}\left(0\right)\times \Sigma$ where $\Sigma$ is smooth and $\pi$ : $K\to K^{\mathrm{tr}}$ is the forgetful map. The map $\pi$ is shown to be an epimorphism in two situations: (i) if $H^2(M,{\Theta }_{ℱ}^f)=0$, where ${\Theta }_{ℱ}^f$ is the sheaf of germs of holomorphic vector fields tangent to $ℱ$, and (ii) if there exists a holomorphic foliation ${ℱ}^{⋔}$ transverse and supplementary to $ℱ$. When the conditions (i) and (ii) are both fulfilled then $K\cong K^f\times K^{\mathrm{tr}}$.

[1] M. Artin, On the Solutions of Analytic Equations, Inventiones Math., 5 (1968), 277-291. | MR | Zbl

[2] J.-L. Cathelineau, Déformations équivariantes d'espaces analytiques complexes compacts, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup., 11 (1978), 391-406. | Numdam | MR | Zbl

[3] A. Douady, Déformations régulières, Sém. M. Cartan, 13e année, (1960-1961), n° 3. | Numdam | Zbl

[4] A. Douady, Le problème des modules pour les variétés analytiques complexes, Sém. Bourbaki, 17e année (1964-1965), n° 277. | Numdam | Zbl

[5] A. Douady, Le problème des modules pour les sous-espaces analytiques compactes d'un espace analytique donné, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 16-1 (1966), 1-95. | Numdam | MR | Zbl

[6] A. Douady, Le problème des modules locaux pour les espaces ℂ-analytiques compacts, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup., 7 (1974), 569-602. | Numdam | MR | Zbl

[7] T. Duchamp, M. Kalka, Deformation theory for holomorphic foliations, J. Diff. Geom., 14 (1979), 317-337. | MR | Zbl

[8] T. Duchamp, M. Kalka, Holomorphic Foliations and Deformations of the Hopf foliation, Pacific J. of Math., 112 (1984), 69-81. | MR | Zbl

[9] J. Frenkel, Cohomologie non abélienne et espaces fibrés, Bull. Soc. Math. de France, 85 (1957), 135-220. | Numdam | MR | Zbl

[10] J. Girbau, A. Haefliger, D. Sundararaman, On deformations of transversely holomorphic foliations, Journal für die reine and angew. Math., 345 (1983), 122-147. | MR | Zbl

[11] J. Girbau, M. Nicolau, Deformations of holomorphic foliations and transversely holomorphic foliations, Research Notes in Math., 131 (1985), 162-173. | MR | Zbl

[12] R. Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Hermann, Paris, 1964.

[13] X. Gomez-Mont, Transverse Deformations of Holomorphic Foliations, Contemporary Math., 58, part I, 127-139. | MR | Zbl

[14] A. Haefliger, Deformations of Transversely Holomorphic Flows on Spheres and Deformations of Hopf Manifolds, Compositio Math., 55 (1985), 241-251. | Numdam | MR | Zbl

[15] G. R. Kempf, Deformations of Symmetric Products. Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference, Ann. of Math. Studies, 97 (1981), 319-342. | MR | Zbl

[16] K. Kodaira, D. C. Spencer, On deformation of Complex Analytic Structures. I and II, Ann. of Math., 67 (1958), 328-466. | MR | Zbl

[17] K. Kodaira, D. C. Spencer, Multifoliate Structures, Ann. of Math., 74 (1961), 52-100. | MR | Zbl

[18] M. Kuranishi, Deformations of Compact Complex Manifolds, Montreal, 1971. | MR | Zbl

[19] B. Malgrange, Analytic Spaces. L'enseignement Math., t. XIV (1968), 1-28. | MR | Zbl

[20] J. Morrow, K. Kodaira, Complex Manifolds, New York, 1971. | MR | Zbl

[21] L. Nirenberg, A Complex Frobenius Theorem, Seminar of Analytic Functions, Inst. for Advanced Study, Princeton, (1957), 172-189. | Zbl

[22] B. Shiffman, A. J. Sommesse, Vanishing Theorems on Complex Manifolds, Progress in Math., Birkhäuser, Vol. 56 (1985). | MR | Zbl

[23] J. J. Wavrik, Obstructions to the existence of a Space of Moduli. Papers in Honour of K. Kodaira, Princeton Univ. Press, (1969), 403-414. | MR | Zbl

[24] J. J. Wavrik, A Theorem of Completenes for families of Compact Analytic Spaces, Trans. of the A.M.S., 163 (1972), 147-155. | MR | Zbl

[25] J. Wehler, Versal deformations of Hopf surfaces, Journal für die reine and angew. Math., 345 (1987), 122-147.