Modules pour les familles de courbes planes

Dufour, Jean-Paul

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 1, pp. 225-238.

L’étude des familles de courbes plane différentiables se ramène a celle des diagrammes

$$ℝ\stackrel{f}{\leftarrow }S\stackrel{\sigma }{\to }{ℝ}^2$$

où $S$ est une surface, $f$ et $\sigma$ étant différentiables. Dans la classification de ces diagrammes à équivalence près il apparaît trois types de modules: des modules locaux attachés à chaque fronce de $\sigma$, des modules semi-locaux attachés à la superposition en un même point de plusieurs situations locales, des modules globaux attachés aux “courbes de contact” le long desquelles certaines courbes sont tangentes. Nous explicitons ici les modules locaux en donnant une forme canonique très précise des fronces “génériques”. Par ailleurs nous décrivons les modules globaux : on montre qu’à chaque courbe de contact est associé un “faux billard” dont les cycles donnent des invariants. On en déduit en particulier que, si $S$ est une surface compacte, $(f,\sigma )$ ne peut être stable.

The study of smooth plane curves family is moreless the study of “divergent” diagrams

$$ℝ\stackrel{f}{\leftarrow }S\stackrel{\sigma }{\to }{ℝ}^2$$

where $S$ is a surface, $f$ and $\sigma$ being smooth. In the classification of such diagrams appear three types of moduli: local moduli corresponding to every cusp of $\sigma$, semi-local moduli corresponding to superposition of different local situations and global moduli corresponding to each “contact curve” where two curves of the family are tangent. Giving a very precise canonical form for generic cusps we explicit local moduli. We also describe global moduli: we attach to each contact curve a “false” billiard, cycles of which give invariants for the classification. It follows, among others, that there are no stable $(f,\sigma )$ when $S$ is compact.

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