Étude de l’équation $\frac{1}{2}\Delta u-u\mu =0$ où $\mu$ est une mesure positive

Feyel, Denis; Pradelle, Arnaud De La

Annales de l'Institut Fourier, Tome 38 (1988) no. 3, pp. 199-218.

On montre que les solutions faibles de l’équation $\Delta u-u\mu =0$, où $\mu$ est une mesure positive négligeant les polaires, vérifient une inégalité de Harnack. On s’occupe également des sursolutions dont on fait la représentation intégrale a l’aide d’une fonction de Green. Comme les solutions sont discontinues, on est amené à utiliser les formules probabilistes.

We show that weak solutions of the equation $1/2\Delta u-u\mu =0$, where $\mu$ is a positive measure neglecting polar sets, verify a Harnack inequality. We are also concerned with uppersolutions and their integral representation through a Green function. As solutions are discontinuous, probabilistic formulas are used.

[1] M. Aizenman, B. Simon. — Brownian motion and Harnack inequality for Schrödinger operators, Comm. Pure Appl. Math., 35 (1982), 209-273. | MR | Zbl

[2] A. Boukricha, W. Hansen, H. Hueber. — Continuous solutions of the generalized Schrödinger equation and perturbations of harmonic spaces, Research center Bielefeld-Bochum stochastics, Bielefeld University, 1985. | Zbl

[3] M. Brelot. — Eléments de la théorie classique du potentiel, C.D.U., 4ème édition, 1969.

[4] K.L. Chung, M. Rao. — Feynman-Kac functionnal and the Schrödinger equation, Seminar on Stochastic Processes, Birkhaüser, Boston, 1981. | Zbl

[5] C. Dellacherie, P.A. Meyer. — Probabilités et potentiel, A.S.I., 1417, Paris, Hermann, 1987. | Zbl

[6] J. Deny. — Cours de Stresa, 1965. Méthodes hilbertiennes en théorie du Potentiel, C.I.M.E., Stresa, 121-201, Ed. Cremonese, 1970. | Zbl

[7] J. Deny, J.L. Lions. — Les espaces du type de Beppo Levi, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 5 (1953/1954), 305-370. | Numdam | MR | Zbl

[8] N. Falkner. — Feynman-Kac functionnals and positive solutions of 1/2Δu + qu = 0, Zeit. für Wahrscheinlichkeitstheorie, 65 (1983), 19-31. | MR | Zbl

[9] D. Feyel. — Espaces de Banach adaptés, quasi-topologie et balayage, Séminaire de théorie du potentiel, Paris, Lecture Notes, n°681, Springer, (1978). | Zbl

[10] D. Feyel, A. De La Pradelle. — Sur l'équation 1/2 Δu - uμ = 0 où μ est une mesure, C.R.A.S., Paris, série I, 303, n°1 (1986), 5. | MR | Zbl

[11] D. Feyel, A. De La Pradelle. — Nouvelle démonstration de l'inégalité de Harnack pour un opérateur elliptique à coefficients discontinus, C.R.A.S., Paris, série A, 281 (1975), 159. | MR | Zbl

[12] D. Feyel, A. De La Pradelle. — Cônes en dualité, application aux fonctions de Green, Séminaire de théorie du potentiel, Paris, n°2, Lecture Notes in Math., 563, Springer, (1976). | Zbl

[13] D. Feyel, A. De La Pradelle. — Cours de théorie du potentiel, 3ème cycle, Année 1977-1978, Université Paris VI.

[14] B. Fuglede. — Finely harmonic functions (III), Lecture Notes in Math., Springer, vol. 289 (1972). | MR | Zbl

[15] R.M. Hervé. — Représentation d'un espace harmonique de M. Brelot. Recherche d'une bijection entre potentiels et potentiels perturbés, Publ. Math. Univ. P. & M. Curie, n°75 (1986). | Zbl

[16] A. De La Pradelle. — Sur les perturbations d'espaces harmoniques, à paraître. | Zbl

[17] A. De La Pradelle. — Sur la subordination des résolvantes, Séminaire Théorie du Potentiel, Paris, n°6, Lecture Notes in Math., Springer, vol. 1235 (erratum et addendum..., à paraître dans Sém. n°9). | Zbl

[18] A. De La Pradelle. — Sur certaines perturbations de résolvantes, à paraître. | Zbl

[19] P.A. Meyer. — Processus de Markov, Lecture Notes in Math., Springer, vol. 26 (1967). | MR | Zbl

[20] P. Priouret. — Processus de diffusion et équations différentielles stochastiques, cours d'été de Saint-Flour, Lecture Notes in Math., Springer, vol. 390 (1973). | Zbl