Points réguliers d'un sous-analytique

Kurdyka, Krzysztof

Annales de l'Institut Fourier, Tome 38 (1988) no. 1, pp. 133-156.

On donne une autre démonstration (sans désingularisation de Hironaka) du théorème de Tamm, qui dit que la partie régulière d’un sous-analytique est sous-analytique. En plus, on montre que pour chaque fonction $f:U\to R$ de classe SUBB (“sous-analytique à l’infini”), où $U$ est un sous-ensemble ouvert et borné dans $\mathbf{R}(n$, il existe un entier $k\in \mathbf{N}$ tel que $f$ est analytique dans $x\in U$ si et seulement si $f$ est de classe $G^k$ ($k$-fois différentiable au sens de Gateaux) dans un voisinage de $x$.

We give a new proof of Tamm’s theorem stating that the regular part of a subanalytic set is subanalytic. Our proof doesn’t use Hironaka’s desingularization. Additionally, we show that, if $U$ is an open bounded subset of ${\mathbf{R}}^n$ and $f:U\to \mathbf{R}$ is subanalytic at infinity, then there is an integer $k\in \mathbf{N}$ such that f is analytic at $x\in U$ if and only if $f$ is $k$-times Gateaux differentiable in a neighborhood of $x$.

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