Systèmes dynamiques contraints : l'approche homologique

Dubois-Violette, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987) no. 4, pp. 45-57.

On décrit une approche homologique des systèmes dynamiques contraints. Cette approche, directement inspirée des travaux de D. McMullan et de M. Henneaux concernant le formalisme de Batalin, Fradkin et Vilkovisky, contient une interprétation des fantômes et de leurs conjugués. Dans le cadre des systèmes dans l’espace des phases, la construction se fait en deux étapes. La première étape consiste à construire une algèbre différentielle graduée dont la cohomologie en degré zéro est l’espace des observables du système contraint (i.e. les fonctions sur l’espace des phases réduit). La deuxième étape consiste à identifier cette algèbre graduée à l’algèbre des “(super-)fonctions” sur un super-espace des phases et sa différentielle à une action (super-)hamiltonienne (l’hamiltonien correspondant est la charge de B.R.S.). Du point de vue mathématique, les notions-clefs utilisés (de manière élémentaire) sont les notions de complexe de Koszul, de suite spectrale et de variété symplectique graduée.

We present an analysis of constrained systems in phase space using techniques of homological algebra. This analysis, which relies to the works of D. McMullan and M. Henneaux gives an interpretation of the recipes of E.S. Fradkin and G.A. Vilkovisky for the quantization of systems with constraints. From a mathematical point of view the key notions used are the notions of Koszul complexes, spectral sequences and symplectic graded manifolds.

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