Cyclic homology and equivariant theories

Brylinski, Jean-Luc

Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987) no. 4, pp. 15-28.

Le but de cet article est de faire le point sur deux extensions de la théorie classique de cohomologie équivariante. La première est la théorie “délocalisée", que nous développons ici pour une action lisse du cercle sur une variété différentiable. Cette théorie est due à P. Baum, R. MacPherson et l’auteur. La deuxième est l’homologie cyclique d’une algèbre produit croisé de l’algèbre des fonctions différentiables sur une variété, par l’algèbre de convolution des fonctions différentiables sur un groupe de Lie, qui agit sur la variété de façon différentiable. Cela redonne la $K$-théorie équivariante, dans le cas d’un groupe compact. Par ailleurs, on obtient des résultats géométriquement intéressants, par exemple dans le cas d’un groupe discret.

In this article, we present two possible extensions of the classical theory of equivariant cohomology. The first, due to P. Baum, R. MacPherson and the author, is called the “delocalized theory". We attempt to present it in very concrete form for a circle action on a smooth manifold. The second is the cyclic homology of the crossed- product algebra of the algebra of smooth functions on a manifold, by the convolution algebra of smooth functions on a Lie group, when such Lie group act on the manifold. In the case of a compact group, one recovers equivariant $K$-theory. One also obtains geometrically interesting results, for instance in the case of a discrete group.

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