Meilleure approximation polynomiale et croissance des fonctions entières sur certaines variétés algébriques affines

Zeriahi, Ahmed

Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987) no. 2, pp. 79-104.

Soit $K$ un compact polynomialement convexe de ${\mathbf{C}}^n$ et $V_K$ son “potentiel logarithmique extrémal” dans ${\mathbf{C}}^n$. Supposons que $K$ est régulier (i.e. $V_K$ continue) et soit $f$ une fonction holomorphe sur un voisinage de $K$. On construit alors une suite $\{{\mathbf{P}}_{\ell }{\}}_{\ell \ge 1}$ de polynôme de $n$ variables complexes avec deg$({\mathbf{P}}_{)}\le \ell$ pour $\ell \ge 1$, telle que l’erreur d’approximation ${\max }_{z\in K}|f\left(z\right)-P_{\ell }\left(z\right)|$ soit contrôlée de façon assez précise en fonction du “pseudorayon de convergence” de $f$ par rapport à $K$ et du degré de convergence $\ell$. Ce résultat est ensuite utilisé pour étendre à ${\mathbf{C}}^n$ un résultat classique de S.N. Bernstein liant le prolongement analytique d’une fonction continue sur $K$ par une fonction entière d’ordre et de type donnés au comportement asymptotique de l’erreur de la meilleure approximation polynomiale de $f$ sur $K$.

Let $K$ be a polynomially convex compact set of ${\mathbf{C}}^n$ and $V_K$ its “logarithmic extremal potential” in ${\mathbf{C}}^n$. Suppose that $K$ is regular (e.g. $V_K$ continuous) and let $f$ be a holomorphic function on a neightborhood of $K$. We construct a sequence $\{{\mathbf{P}}_{\ell }{\}}_{\ell \ge 1}$ of polynomials in $n$ complex variables with deg$({\mathbf{P}}_{)}\le \ell$ for every $\ell \ge 1$, such that the approximation error ${\max }_{z\in K}|f\left(z\right)-P_{\ell }\left(z\right)|$ is estimated in terms of the “pseudoradius of convergence” of $f$ with respect to $K$ and the degree of convergence $\ell$. This result is then used to extend to ${\mathbf{C}}^n$ the classical S.N. Bernstein’s result relating the prolongation of a continuous function on $K$ by an entire function of given order and type to the best polynomial approximation error of $f$ on $K$.

[1] M. Anderson et Berndtsson, Henkin-Ramirez formulas with weight factors, Ann. Inst. Fourier, 32, 3 (1982), 91-110. | Numdam | Zbl

[2] C. A. Berenstein et B. A. Taylor, On the geometry of interpolating varieties, Séminaire Lelong-Skoda, Lecture Notes 919, 1980-1981. | MR | Zbl

[3] B. Berndtsson, A formula for interpolation and division in Cn, Math. Ann., 263, 4 (1983), 339-418. | MR | Zbl

[4] S. Bernstein, Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynômes, Bruxelles, 1912. | JFM

[5] R. P. Boas, Entire functions, Academic Press, New York, 1954. | MR | Zbl

[6] L. Hörmander, An introduction to complex Analysis in several variables, New York, Van Nostrand Co., 1966. | Zbl

[7] Nguyen Thanh Van, Croissance et meilleure approximation polynomiale des fonctions entières, Ann. Polon. Math., 24 (1982), 325-333. | Zbl

[8] L. I. Ronkin, Introduction to the theory of entire functions of several variables, Amer. Math. Soc. Providence, Rhode Island, 1974. | MR | Zbl

[9] A. Sadullaev, An estimate for polynomials on analytic sets, Math. USSR Izv, 20, 3 (1980), 493-502. | Zbl

[10] J. Siciak, On some extremal functions and their applications in the theory of analytic functions of several complex variables, Trans. Amer. Math. Soc., 105, (2) (1962), 322-357. | MR | Zbl

[11] J. Siciak, Extremal plurisubharmonic functions in Cn, Ann. Polon. Math., 39 (1981), 175-211. | MR | Zbl

[12] W. Stoll, The growth of the area of a transcendental analytic set I et II, Math. Ann., 156 (1964), 47-78 et 144-170. | MR | Zbl

[13] T. Winiarski, Approximation and interpolation of entire functions, Ann. Polon. Math., 23 (1970), 259-273. | MR | Zbl

[14] T. Winiarski, Application of approximation and interpolation methods to the examination of entire functions of n complex variables, Ann. Polon. Math., 28 (1973), 98-121. | MR | Zbl

[15] J. L. Walsh, Interpolation and approximation by rational functions, Boston, 1960. | Zbl

[16] A. Zeriahi, Capacité, constante de čebyšev et polynômes orthogonaux associés à un compact de Cn, Bull. Sc. Math., 109 (1985), 325-335. | Zbl

[17] A. Zeriahi, Fonctions plurisousharmoniques extrémales, Approximation et croissance des fonctions holomorphes sur des ensembles algébriques, Thèse de Doctorat d'État, Sciences, U.P.S. Toulouse, 1986.