Surfaces incompressibles dans les variétés obtenues par chirurgie longitudinale le long d’un noeud de $S^3$

Domergue, Michel; Short, H.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987) no. 2, pp. 223-238.

Nous donnons une condition, le type $𝒞$, sur un nœud $k$ de $S^3$ pour qu’une surface de Seifert incompressible de $k$ donne naissance à une surface fermée incompressible dans la variété $M$ obtenue par chirurgie de Dehn longitudinale à partir de $k$; l’existence d’une telle surface assure l’irréductibilité de $M$. La variété $M$, homologiquement équivalente à $S^1\times S^2$, n’est donc pas $S^1\times S^2$.

Nous définissons une condition, le type $𝒯$, sur un nœud $k$ de $S^3$ pour qu’une surface fermée incompressible dans $S^3$-$k$ reste incompressible dans les variétés obtenues par chirurgie le long des courbes périphériques enlaçant le nœud $k$ au moins deux fois. (Ces variétés sont homologiquement équivalentes aux espaces lenticulaires distincts de $S^3$ ou $S^1\times S^2$.) Par définition, nous verrons que tout nœud de $S^3$ est de type $𝒞$ ou de type $𝒯$.

A condition, of type $𝒞$, is given on a knot $k$ in $S^3$, so that an incompressible Seifert surface of $k$ produces a closed incompressible surface in the manifold $M$, obtained by longitudinal Dehn surgery on $k$; existence of such surface insures the irreductibility of $M$. The manifold $M$, homologically equivalent to $S^1\times S^2$.

A condition, of type $𝒯$, is given on a knot $k$ in $S^3$, so that a closed incompressible surface in $S^3$-$k$ remains incompressible after longitudinal surgeries on peripheral curves, the linking number with $k$ being at least 2. These manifolds are homologically equivalent to lens spaces, which are distinct from $S^3$ or $S^1\times S^2$.

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