Local-to-global extensions of representations of fundamental groups

Katz, Nicholas M.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 36 (1986) no. 4, pp. 69-106.

Soit $K$ un corps de caractéristique $p>0$, $C$ une courbe propre, lisse, et géométriquement connexe sur $K$, et $0$, $\infty$ deux points $K$-rationnels de $C$. On montre que toute représentation du groupe de Galois local à l’infini se prolonge en une représentation du groupe fondamental de $C-\{0,\infty \}$ qui est modérément ramifiée en $0$, sous l’hypothèse que soit $K$ est séparablement clos, soit que $C$ est ${\mathbf{P}}^1$. Dans ce dernier cas, on montre qu’il existe un seul tel prolongement, dit “canonique”, avec la propriété que l’image du groupe fondamental géométrique ait un seul $p$-sous-groupe de Sylow. Comme application, on donne une construction cohomologique globale de la représentation de Swan dans le cas d’égale caractéristique.

Let $K$ be a field of characteristic $p>0$, $C$ a proper, smooth, geometrically connected curve over $K$, and 0 and $\infty$ two $K$-rational points on $C$. We show that any representation of the local Galois group at $\infty$ extends to a representation of the fundamental group of $C-\{0,\infty \}$ which is tamely ramified at 0, provided either that $K$ is separately closed or that $C$ is ${\mathbf{P}}^1$. In the latter case, we show there exists a unique such extension, called “canonical”, with the property that the image of the geometric fundamental group has a unique $p$-Sylow subgroup. As an application, we give a global cohomological construcion of the Swan representation in equal characteristic.

[Ha] D. Harbater, Moduli of p-covers of curves, Comm. in Algebra, 8, n° 12 (1980), 1095-1122. | MR | Zbl

[Ka] N. Katz, Gauss Sums, Kloosterman Sums, and Monodromy Groups, Annals of Math. Study, 113, to appear. | Zbl

[Lau] G. Laumon, Les constantes des équations fonctionnelles des fonctions L sur un corps global de caractéristique positive, C.R. Acad. Sc., Paris, t. 298, Série 1, n° 8 (1984), 181-184. | MR | Zbl

[Le] A. H. M. Levelt, Jordan decomposition of a class of singular differential operators, Arkiv for Math., 13.1 (1975), 1-27. | MR | Zbl

[Ra] M. Raynaud, Caractéristique d'Euler-Poincaré d'un faisceau et cohomologie des variétés abéliennes, Séminaire Bourbaki 1964*1965, n° 286, W.A. Benjamin, New York, 1966. | Numdam | Zbl

[Se-1] J.-P. Serre, Corps Locaux, deuxième édition, Hermann, Paris 1968.

[Se-2] J.-P. Serre, Représentations Linéaires des Groupes Finis, troisième édition corrigée, Hermann, Paris, 1978. | MR | Zbl

[Sh] S. Shatz, Profinite Groups, Arithmetic, and Geometry, Annals of Math. Study, 67, Princeton Univeristy Press, Princeton, 1972. | MR | Zbl

Treatises.

[E.G.A.] Éléments de Géométrie Algébrique, Pub. Math. I.H.E.S., 4(I) ; 8(II) ; 11, 17(III) ; 20, 24, 28, 32(IV). | Numdam

[S.G.A.] Séminaire de Géométrie Algébrique, Springer Lecture Notes in Mathematics, 224 (SGA 1) ; 151-152-153 (SGA 3) ; 269-270-305 (SGA 4) ; 569 (SGA 4 1/2) ; 288 (SGA 7, I) ; 340 (SGA 7, II).