Cet article comprend deux parties indépendantes. On démontre d’abord que pour tout feuilletage dont les singularités sont des selles ayant au moins 3 séparatrices, sur une surface fermée orientable de genre , le cône des mesures transverses invariantes se plonge comme un sous-espace isotrope dans l’espace des feuilletages mesures muni de sa structure symplectique linéaire par morceaux, définie par Thurston. On en déduit une nouvelle démonstration d’un résultat essentiellement du à Katok, qui affirme que le nombre de mesures transverses invariantes indépendantes est .
On décrit ensuit le flot hamiltonien de la fonction intersection géométrique avec une courbe simple fermée.
We study 2 properties of the space of measured foliations on a closed orientable surface, with respect to the piecewise-linear symplectic structure of this space, defined by Thurston:
We first prove that for a given foliation, the cone of transverses invariant measures imbeds in as an isotropic submanifold, recovering as a corollary a theorem due to Katok and others stating that the dimension of this cone is , where is the genus of the surface.
We then prove a duality formula between the differential of the intersection function (where is a simple closed curve not homotopic to a point), and a certain vectorfield defined on a subspace of where the differential makes sense; the vectorfield has a geometric interpretation as the tangent field to a 1-parameter family of homeomorphisms defined by “twisting” along the curve .
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Papadopoulos, Athanase. Deux remarques sur la géométrie symplectique de l'espace des feuilletages mesurés sur une surface. Annales de l'Institut Fourier, Tome 36 (1986) no. 2, pp. 127-141. doi : 10.5802/aif.1052. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1052/
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