L'anneau de Milnor d'un corps local à corps résiduel parfait

Kahn, Bruno

Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 4, pp. 19-65.

Soit $K$ un corps complet pour une valuation discrète, de corps résiduel $k$. Lorsque $k$ est fini, la structure de $K_2\left(K\right)$ a été déterminée par C.C. Moore, J.E. Carroll et A.S. Merkurjev. On généralise ici leurs résultats au cas où $k$ est parfait de caractéristique positive $p$. Les résultats principaux sont : $p^n{K}_2\left(K\right)$ est $p$-divisible pour $n$ assez grand (explicite); le groupe $K_2^{\mathrm{top}}\left(K\right)$ de Milnor est discret, explicitement déterminé ; $K_2\left(K\right)$ n’a pas de torsion première à $p$, et sa $p$-torsion est explicitement déterminée. On obtient également des résultats sur les groupes de Milnor $K_m\left(K\right)$; en particulier, lorsque $m\ge 3$, ce groupe est $p$-divisible sans $p$-torsion.

Let $K$ be a complete discrete valuation field with residue field $k$. When $k$ is perfect, the structure of $K_2\left(K\right)$ has been determined by C.C. Moore, J.E. Carroll and A.S. Merkurjev. Their results are here generalized to the case when $k$ is perfect with positive characteristic $p$. Main results are: $p^n{K}_2\left(K\right)$ is $p$-divisible for large enough (explicit) $n$; Milnor’s group $K_2^{\mathrm{top}}\left(K\right)$ is discrete, explicitly determined; $K_2\left(K\right)$ has no prime to $p$ torsion, and its $p$-torsion is explicitly determined; Results on Milnor’s $K$-groups $K_m\left(K\right)$ are obtained as well: in particular, when $m\ge 3$, this group is $p$-divisible and has no $p$-torsion.

[0] Algebraic K-theory, II, Lect Notes in Math., 342 (1973). | Zbl

[1] H. Bass, J. Tate, The Milnor ring of a global field, in Algebraic K-theory, II, Lect. Notes in Math., 342 (1973), 349-428. | MR | Zbl

[2] J. E. Carroll, On the torsion in K2 of local fields, in Algebraic K-theory, II, Lect. Notes in Math., 342 (1973), 464-473. | MR | Zbl

[3] K. Dennis, M. Stein, K2 of discrete valuation rings, Adv. in Math., 18, n° 2 (1975), 182-238. | Zbl

[4] B. Kahn, Thèse de 3e cycle, Université de Bordeaux I, 1983.

[5] K. Kato, A generalization of class field theory by using K-groups, I : Journ. Fac. Sci. Tokyo, 26 (1979), 303-376, II ; ibid. 27 (1980), 603-683. | Zbl

[6] S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, 1965. | MR | Zbl

[7] J. Milnor, Introduction to algebraic K-theory, Ann. of Math. Studies, 72, Princeton, 1971. | MR | Zbl

[8] J. Milnor, Algebraic K-theory and quadratic forms, Inv. Math., 9 (1969-1970), 318-344. | MR | Zbl

[9] C. Moore, Group extensions of p-adic and adelic linear groups, Publ. Math. I.H.E.S., 35 (1969). | Numdam | Zbl

[10] A. Parsin, Abelian coverings of arithmetic schemes, Soviet. Math. Dokl., vol. 19, n° 6 (1978), 1438-1442. | MR | Zbl

[11] I. R. Šafarevič, A general reciprocity law, Amer. Math. Soc. Transl., 4 (1956), 73-105. | Zbl

[12] J.-P. Serre, Corps locaux, 2e éd., Hermann, Paris, 1968.

[13] J.-P. Serre, Cohomologie galoisienne, Lect. Notes in Math., 5 (1964). | Zbl

[14] C. Soulé, K2 et le groupe de Brauer, Séminaire Bourbaki (1982), n° 601. | Numdam | Zbl

[15] A. Suslin, Torsion in K2 of fields, prépublication, Léningrad, 1982. | Zbl

[16] R. Switzer, Algebraic topology-Homotopy and homology, Springer, 1975. | MR | Zbl

[17] J. Tate, Relations between K2 and Galois cohomology, Inv. Math., 36 (1976), 257-274. | MR | Zbl

[18] A. Merkurjev and A. Suslin, K-cohomology of Severi-Brauer varieties and norm residue homomorphism, Math. USSR, Izvestija, 21 (1983), (trad. anglaise). | Zbl

[19] A. Merkurjev, On the torsion in K2 of local fields, Ann. of Math., 118 (1983), 375-381. | MR | Zbl

[20] J. Graham, Continuous symbols on fields of formal power series, Algebraic K-theory, II, Lect. Notes in Math., 342 (1973), 474-486. | MR | Zbl

[21] K. Kato, Milnor's K-theory and the Chow group of zero cycles, prépublication. | Zbl

[22] J. Tate, On the torsion in K2 of fields, in Algebraic Number Theory Conference, Kyoto Intern. Symposium 1976, 243-261, Japan Soc. Prom. Sci., 1977. | Zbl

[23] A. Weil, L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications, 2e édition, Hermann, Paris, 1965.