Produits finis de commutateurs dans les $C^{*}$-algèbres

Harpe, Pierre De La; Skandalis, Georges

Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 4, pp. 169-202.

Soient $A$ une $C^{*}$-algèbre approximativement finie simple avec unité, $G{L}_1\left(A\right)$ le groupe des inversibles et $U_1\left(A\right)$ le groupe des unitaires de $A$. Nous avons défini dans un précédent travail un homomorphisme ${\Delta }_T$, appelé déterminant universel de $A$, de $G{L}_1\left(A\right)$ sur un groupe abélien associé à $A$. Nous montrons ici que, pour qu’un élément $x$ dans $G{L}_1\left(A\right)$ ou dans $U_1\left(A\right)$ soit produit d’un nombre fini de commutateurs, il (faut et il) suffit que $x\in \mathrm{Ker}\left({\Delta }_T\right).$ Ceci permet en particulier d’identifier le noyau de la projection canonique $K_1\left(A\right)\to K_1^{\mathrm{top}}\left(A\right).$ On établit aussi des résultats concernant les $C^{*}$-algèbres stables et les $C^{*}$-algèbres infinies simples avec unité.

Let $A$ be a simple approximately finite dimensional $C^{*}$-algebra with unit, let $G{L}_1\left(A\right)$ be the group of invertible elements and let $U_1\left(A\right)$ be that of unitaries in $A$. We have defined in a previous work a universal determinant ${\Delta }_T$ of $A$, which is a homomorphism from $G{L}_1\left(A\right)$ onto an abelian group associated to $A$. We show here that in element $x$ in $G{L}_1\left(A\right)$ or in $U_1\left(A\right)$ is a product of finitely many commutators if (and only if) $x\in \mathrm{Ker}\left({\Delta }_T\right).$ In particular, one may thus characterize the kernel of the canonical projection $K_1\left(A\right)\to K_1^{\mathrm{top}}\left(A\right).$ Other results are established about stable $C^{*}$-algebras and infinite simple $C^{*}$-algebras with unit.

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