Lieu discriminant d’un germe analytique de corang 1 de ${ℂ}_{,0}^2$ vers ${ℂ}_{,0}^2$

Maisonobe, Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 4, pp. 91-118.

On considère des germes d’applications analytiques de ${\mathbf{C}}_{,0}^2$ vers ${\mathbf{C}}_{,0}^2$, de corang 1, finis, à lieu critique irréductible. De corang 1 signifie qu’il s’écrit après un bon choix de coordonnées locales sous la forme: $(x,u)\mapsto (x,\mathbf{P}(x,u\left)\right)$ où ${\mathbf{P}}_u^{\prime }(0,0)=0$. On donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une courbe plane irréductible soit le lieu discriminant d’un tel germe d’applications : ce sont des conditions numériques portant sur les exposants de Puiseux. Ce problème est lié à celui de la représentation d’une variété lagrangienne singulière par une fonction de phase. On classifie ensuite topologiquement ces germes d’applications analytiques.

We are dealing with germs of analytic applications form ${\mathbf{C}}_{,0}^2$ to ${\mathbf{C}}_{,0}^2$, of corang 1, finite with an irreducible critical locus. “Of corang 1” means that it can be written after a good choice of local coordinates in the form: $(x,u)\mapsto (x,P(x,u\left)\right)$ or $P_u(0,0)=0$. We give necessary and sufficient conditions for a plane curve to be the discriminant locus of such a map germ: these conditions are numerical and are related to Puiseux exponents. The problem is linked to that of the representation of a singular lagrangian variety by a phase function. We then classify these germs of analytic applications topologically.

[1] M. Artin, Inventiones Mathematics, Vol. 5 (1968).

[2] N. A'Campo, Le nombre de Lefschetz d'une monodromie, Indagationes Mathematicae, Volume 35, Fasc. 2 (1973). | MR | Zbl

[3] L. Hormänder, Acta Mathematica, Vol. 127 (1971).

[4] Le Dung Trang, Topologie des singularités des hypersurfaces complexes, Singularités à Cargèse, Astérisque, N° 7 et 8 (1973). | Numdam | Zbl

[5] J. Mather, Notes on topological stability, Harvard University, 1970.

[6] Ph. Maisonobe, Lieu discriminant d'une application de corang 1 de C2 vers C2, Thèse de troisième cycle soutenue à l'Université de Nice le 10 Juin 1981.

[7] F. Pham, Singularités des systèmes différentiels de Gauss-Manin, Progress in Mathematics, Volume 2, Birkhaüser, 1979. | MR | Zbl

[8] F. Pham, Remarque sur l'équivalence des fonctions de phase, C.R.A.S., Tome 290, Série A (Juin 1980). | MR | Zbl

[9] O. Zariski, Studies in Equisingularity I et II, American Journal of Mathematics, Vol. 87 (1965). Studies in Equisingularity III, American Journal of Mathematics, Vol. 90 (1968). | Zbl