The Lagrange rigid body motion

Ratiu, Tudor; Moerbeke, P. Van

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 1, pp. 211-234.

Nous étudions le mouvement de la toupie symétrique à point fixe dans ${\mathbf{R}}^3$ en présence de pesanteur, du point de vue de ses structures symplectiques et ses intégrales du mouvement. Une symétrie évidente permet de réduire le problème à un mouvement. Une symétrie évidente permet de réduire le problème à un mouvement sur une variété symplectique de dimension 4 dans $so\left(3\right)\times so\left(3\right)$; les champs de vecteurs ainsi définis s’expriment par les équations d’Euler-Poisson habituelles. Cette variété peut aussi être conçue comme une orbite coadjointe d’une algèbre de Lie d’un produit semi-direct $SO\left(3\right)\times so\left(3\right)$ muni de sa structure symplectique naturelle. Enfin la toupie de Lagrange peut aussi être réalisée comme un flot hamiltonien sur une orbite coadjointe d’une algèbre de Kac-Moody; la linéarisation du flot sur une courbe elliptique découle immédiatement de cette approche en vertu d’un théorème général.

We discuss the motion of the three-dimensional rigid body about a fixed point under the influence of gravity, more specifically from the point of view of its symplectic structures and its constants of the motion. An obvious symmetry reduces the problem to a Hamiltonian flow on a four-dimensional submanifold of $so\left(3\right)\times so\left(3\right)$; they are the customary Euler-Poisson equations. This symplectic manifold can also be regarded as a coadjoint orbit of the Lie algebra of the semi-direct product group $SO\left(3\right)\times so\left(3\right)$ with its natural symplectic structure. Finally the Lagrange motion is also a Hamiltonian flow on a coadjoint orbit in a kac-Moody Lie algebra; this approach has the virtue that the linearization in terms of elliptic integrals follows at once from a general theorem.

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