Déformations d’algèbres associées à une variété symplectique (les ${*}_{\nu }$-produits)

Lichnerowicz, André

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 1, pp. 157-209.

Fondements de la théorie des ${*}_v$-produits. Notion de ${*}_v$-produit de Vey; tout ${*}_v$-produit est équivalent à un ${*}_v$-produit de Vey. Sur toute variété symplectique paracompacte $(W,F)$ telle que $b_3\left(W\right)=0$, il existe des ${*}_v$-produits de Vey. Caractérisation des algèbres de Lie engendrées par antisymétrisation d’un ${*}_v$-produit (éventuellement faible); ce sont à une équivalence près, les algèbres de Lie de Vey.

On considère les variétés symplectiques $(W,F)$ sur lesquelles opère, par symplectomorphismes, un groupe de Lie $G$. Si $(W,F)$ admet une connexion linéaire $G$-invariante, elle admet une connexion symplectique $G$-invariante. Si $G$ est compact connexe et si $(W,F)$ admet un ${*}_v$-produit, elle admet un ${*}_v$-produit de Vey $G$-invariant. Si $G$ est un groupe de Lie connexe, le groupe $T^{*}G$ admet une structure et une connexion symplectique bi-invariantes par $G$. Si $G$ est compact et si $T^{*}G$ admet un ${*}_v$-produit, il admet un ${*}_v$-produit de Vey bi-invariant par $G$.

Foundations of the theory of the ${*}_v$-products. Notion of Vey ${*}_v$-product; each ${*}_v$-product is equivalent to a Vey ${*}_v$-product. Existence of Vey ${*}_v$-products on each paracompact symplectic manifold such that $b_3\left(W\right)=0$. Characterization of the Lie algebras generated by a (eventually weak) ${*}_v$-product; these Lie algebras are the algebras equivalent to a Vey Lie algebra.

We consider the symplectic manifolds $(W,F)$ on which a Lie group $G$ acts by symplectomorphisms. If $(W,F)$ admits a $G$-invariant linear connection, it admits a $G$-invariant symplectic connection. If $G$ is a connected compact Lie group and if $(W,F)$ admits a ${*}_v$-product, it admits a $G$-invariant Vey ${*}_v$-product. If $G$ is a connected Lie group, the group $T^{*}G$ admits a symplectic structure and a symplectic connection which are bi-invariant under $G$. If $G$ is compact and if $T^{*}G$ admits a ${*}_v$-product, $T^{*}G$ admits a Vey ${*}_v$-product that is bi-invariant under $G$.

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