Déformations d’algèbres associées à une variété symplectique (les * ν -produits)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 1, pp. 157-209.

Fondements de la théorie des * v -produits. Notion de * v -produit de Vey; tout * v -produit est équivalent à un * v -produit de Vey. Sur toute variété symplectique paracompacte (W,F) telle que b 3 (W)=0, il existe des * v -produits de Vey. Caractérisation des algèbres de Lie engendrées par antisymétrisation d’un * v -produit (éventuellement faible); ce sont à une équivalence près, les algèbres de Lie de Vey.

On considère les variétés symplectiques (W,F) sur lesquelles opère, par symplectomorphismes, un groupe de Lie G. Si (W,F) admet une connexion linéaire G-invariante, elle admet une connexion symplectique G-invariante. Si G est compact connexe et si (W,F) admet un * v -produit, elle admet un * v -produit de Vey G-invariant. Si G est un groupe de Lie connexe, le groupe T * G admet une structure et une connexion symplectique bi-invariantes par G. Si G est compact et si T * G admet un * v -produit, il admet un * v -produit de Vey bi-invariant par G.

Foundations of the theory of the * v -products. Notion of Vey * v -product; each * v -product is equivalent to a Vey * v -product. Existence of Vey * v -products on each paracompact symplectic manifold such that b 3 (W)=0. Characterization of the Lie algebras generated by a (eventually weak) * v -product; these Lie algebras are the algebras equivalent to a Vey Lie algebra.

We consider the symplectic manifolds (W,F) on which a Lie group G acts by symplectomorphisms. If (W,F) admits a G-invariant linear connection, it admits a G-invariant symplectic connection. If G is a connected compact Lie group and if (W,F) admits a * v -product, it admits a G-invariant Vey * v -product. If G is a connected Lie group, the group T * G admits a symplectic structure and a symplectic connection which are bi-invariant under G. If G is compact and if T * G admits a * v -product, T * G admits a Vey * v -product that is bi-invariant under G.

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Lichnerowicz, André. Déformations d’algèbres associées à une variété symplectique (les $*_\nu $-produits). Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 1, pp. 157-209. doi : 10.5802/aif.865. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.865/

[1] M. Flato, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer, Déformations 1 - différentiables d'algèbres de Lie attachées à une variété symplectique ou de contact, C.R. Acad. Sc., t. 279, A (1974), 877. Compos. Matem., t. 31 (1975), 47-82. | Numdam | Zbl

[2] J. Vey, Déformations du crochet de Poisson sur une variété symplectique, Comm. Math. Helv., t. 50 (1975), 421-454. | MR | Zbl

[3] J.E. Moyal, Proc. Cambridge Philos Soc., t. 45 (1949), 99-124. | Zbl

[4] F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz et D. Sternheimer, Deformation theory and quantization, Ann. of Phys., t. 11 (1978), 61-110 et 111-151. | MR | Zbl

[5] A. Lichnerowicz, Existence et équivalence des *v-produits sur une variété symplectique, C.R. Acad. Sc., t. 289, A (1979), 349. | MR | Zbl

[6] A. Lichnerowicz, Connexions symplectiques et *v-produits invariants, C.R. Acad. Sc., t. 291, A (1980), 413-463. | MR | Zbl

[7] A. Avez, A. Lichnerowicz, A. Diaz-Miranda, Sur l'algèbre de Lie des automorphismes infinitésimaux d'une variété symplectique, J. Diff. Geom., t. 9 (1974), 1-40. | MR | Zbl

[8] A. Avez et A. Lichnerowicz, Dérivations et premier groupe de cohomologie pour les algèbres de Lie attachées à une variété symplectique, C.R. Acad. Sc., t. 275, A (1972), 113. | MR | Zbl

[9] M. Gerstenhaber, Deformation theory of algebraic structures, Ann. of Math., t. 79 (1964), 59-90. | Zbl

[10] A. Lichnerowicz, Sur les algèbres formelles associées par déformation à une variété symplectique, Ann. di Matem., t. 123 (1980), 287-330. | MR | Zbl

[11] M. Flato, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer, Crochet de Moyal-Vey et quantification, C.R. Acad. Sc., t. 283, A (1976), 19. | MR | Zbl

[12] S. Gutt, Cohomology associated with the Poisson Lie algebra, Lett. in Math. Phys., t. 3 (1979), 297-310.

[13] A. Lichnerowicz, Existence and equivalence of twisted products on a symplectic manifold, Lett. in Math. Phys., t. 3 (1979), 495-502. | Zbl

[14] J.A. Schouten, Conv. Int. Geom. Diff., Cremonese Roma, (1954), 1-7; A. Nijenhuis Indag. Math., t. 17 (1955), 390.

[15] O.M. Neroslavsky et A.T. Vlassov, Sur les déformations de l'algèbre des fonctions d'une variété symplectique (1979), à paraître en russe ; C.R. Acad. Sc., (1980), à paraître. | Zbl

[16] K. Yano et S. Ishihara, Tangent and cotangent Bundles, Marcel Dekker, New-York (1973), p. 268-270 ont donné une autre solution du même problème, qui diffère de la nôtre par des termes de courbure. | Zbl

Cité par Sources :