Density questions in the classical theory of moments

Berg, Christian; Christensen, J. P. Reus

Annales de l'Institut Fourier, Tome 31 (1981) no. 3, pp. 99-114.

Soit $\mu$ une mesure de Radon positive sur la droite dont tous les moments existent. Nous démontrons que l’ensemble $P$ des polynômes n’est pas dense dans $L^p(\mathbf{R},\mu )$ pour $p>2$, si $\mu$ est indéterminée. Si $\mu$ est déterminée $P$ est dense dans $L^p(\mathbf{R},\mu )$ pour $1\le p\le 2$, mais non nécessairement pour $p>2$. Ensuite, nous étudions l’ensemble convexe et compact des mesures de Radon positives admettant les mêmes moments que $\mu$.

Let $\mu$ be a positive Radon measure on the real line having moments of all orders. We prove that the set $P$ of polynomials is note dense in $L^p(\mathbf{R},\mu )$ for any $p>2$, if $\mu$ is indeterminate. If $\mu$ is determinate, then $P$ is dense in $L^p(\mathbf{R},\mu )$ for $1\le p\le 2$, but not necessarily for $p>2$. The compact convex set of positive Radon measures with same moments as $\mu$ is studied in some details.

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