Formules explicites pour les solutions minimales de l’équation $\overline{\partial }u=f$ dans la boule et dans le polydisque de ${ℂ}^n$

Charpentier, Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980) no. 4, pp. 121-154.

Dans cet article, on construit tout d’abord un noyau de Cauchy explicite dans la boule unité $B$ de ${\mathbf{C}}^n$ dont les valeurs au bord sont égales au noyau de Szegö. Puis, à partir de ce noyau, on construit explicitement les noyaux qui fournissent les solutions de l’équation $\overline{\partial }u=f$ qui sont orthogonales aux fonctions holomorphes dans les espaces $L^2(d{\sigma }_{\alpha })$, où $d{\sigma }_{\alpha }\left(z\right)=(1-|z{|}^2\left)d\lambda \right(z)$, $d\lambda \left(z\right)$ étant la mesure de Lebesgue et $\alpha$ un réel $>-1$. Nous donnons ensuite les principales estimations dedans et au bord que vérifient ces solutions. Dans une deuxième partie, on construit des formules similaires pour le polydisque qui permettent d’obtenir les estimations $L^p$ pour les solutions de $\overline{\partial }u=f$.

In this paper, we construct first an explicit Cauchy kernel for the unit ball $B$ in ${\mathbf{C}}^n$ whose boundary values are equal to the Szegö kernel. Then we construct an explicit family of kernels which give the solutions of $\overline{\partial }u=f$ which are orthogonal to holomorphic functions in $L^2(d{\sigma }_{\alpha })$. Here $\alpha$ is a real number, $\alpha >-1$, $d\lambda \left(z\right)$ the Lebesgue measure and $d{\sigma }_{\alpha }\left(z\right)=(1-|z{|}^2\left)d\lambda \right(z)$, $d\lambda \left(z\right)$. We give also some estimates inside and on the boundary for these solutions. In a second part, we give also similar formulas in the polydisk and we prove $L^p$ estimates for the solutions of $\overline{\partial }u=f$.

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