Zeros of random functions in Bergman spaces

Shapiro, Joel H.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 4, pp. 159-171.

Soit $\mu$ une mesure positive invariante par rotation sur le disque unité ouvert $\Delta$, telle que le support de $\mu$ contienne le cercle unité. Pour $0<p<\infty$ l’ensemble des fonctions de $L^p\left(\mu \right)$ qui sont holomorphes sur $\Delta$ s’appelle l’espace de Bergman $A_{\mu }^p$. Nous montrons que, lorsque la série de puissances $f\left(z\right)=\Sigma {\zeta }_n{a}_n{z}^n$ à coefficients gaussiens indépendants est presque sûrement dans $A_{\mu }^p\setminus {\bigcup }_{q>p}{A}_{\mu }^p$, alors il est presque sûr que : a) $Z\left(f\right)$, ensemble des zéros de $f$, n’est contenu dans aucun ensemble $Z{A}_{\mu }^q$ (c’est-à-dire $Z\left(g\right)$, $g\in A_{\mu }^q\setminus \left\{0\right\}$, $q>p$), et b) $Z(f+1)\cup Z(f-1)$ n’est contenu dans aucun $Z{A}_{\mu }^q$.

Suppose $\mu$ is a finite positive rotation invariant Borel measure on the open unit disc $\Delta$, and that the unit circle lies in the closed support of $\mu$. For $0<p<\infty$ the Bergman space $A_{\mu }^p$ is the collection of functions in $L^p\left(\mu \right)$ holomorphic on $\Delta$. We show that whenever a Gaussian power series $f\left(z\right)=\Sigma {\zeta }_n{a}_n{z}^n$ almost surely lies in $A_{\mu }^p$ but not in ${\bigcup }_{q>p}{A}_{\mu }^p$, then almost surely: a) the zero set $Z\left(f\right)$ of $f$ is not contained in any $A_{\mu }^q$ zero set ($q>p$, and b) $Z(f+1)\cup Z(f-1)$ is not contained in any $A_{\mu }^q$ zero set.

[1] X. Fernique, Intégrabilité des vecteurs gaussiens, C.R. Acad. Sci., Paris, 270 (1970), 1698-1699. | MR | Zbl

[2] Ch. Horowitz, Zeros of functions in Bergman spaces, Duke Math. J., 41 (1974), 693-710. | MR | Zbl

[3] J.P. Kahane, Some Random Series of Functions, D.C. Heath and Co., Lexington, MA, 1968. | MR | Zbl

[4] W. Rudin, Zeros of holomorphic functions in balls, Indag. Math., 38 (1976), 57-65. | MR | Zbl

[5] W. Rudin, Principles of Real Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, New York, 1976. | Zbl

[6] W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 1974. | MR | Zbl

[7] J. H. Shapiro, Zeros of functions in weighted Bergman spaces, Michigan Math. J., 24 (1977), 243-256. | MR | Zbl