Sur un problème à frontière libre de la physique des plasmas

Gourgeon, H.; Mossino, Jacqueline

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 4, pp. 127-141.

Ce papier porte sur l’étude mathématique d’une équation du type de Grad-Mercier qui décrit, dans certaines circonstances, l’équilibre d’un plasma confiné [H. Grad, P.N. Hu et D.C. Stevens, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 72,n${}^{\circ }$10 (1975), 3789–3793, C. Mercier, Publication of Euratom, CEA, Luxembourg (1974), C. Mercier, Communications personnelles à R. Temam et aux auteurs]. Il s’agit de trouver une fonction “régulière” $u$ solution du système

$$\left\{\begin{array}{cc}-\Delta u+\lambda g\left[\delta \right(u\left)\right]=0\hfill & \text{dans}\Omega ,\hfill \\ u=\text{constante}\text{(inconnue)}>0\hfill & \text{sur}\partial \Omega ,\hfill \\ {\int }_{\partial \Omega }\frac{\partial u}{\partial n}=I,\hfill \end{array}\right.$$

où $\Omega$ est un ouvert borné régulier de ${\mathbf{R}}^n$, et

$$\delta \left(u\right)\left(x\right)=\mathrm{mes}\{y\in \Omega \mid u(x)<u(y)<0\}.$$

L’opérateur non linéaire $\delta$ n’est ni monotone, ni local (ni même continu). Nous montrons l’existence, ou la non-existence, de solutions, selon les valeurs du paramètre $\lambda$. Cet article utilise des résultats antérieurs de l’un des auteurs [J. Mossino, Journal of Differential Equations] et il nécessite néanmoins de nouveaux arguments permettant de contourner la difficulté liée au manque de coercivité de l’opérateur. Une technique de symétrisation intervient ici de façon essentielle.

In this paper we are concerned with the mathematical study of an equation of the Grad-Mercier type which describes the equilibrium of a confined plasma, under some circumstances [H. Grad, P.N. Hu et D.C. Stevens, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 72,n${}^{\circ }$10 (1975), 3789–3793, C. Mercier, Publication of Euratom, CEA, Luxembourg (1974), C. Mercier, Communications personnelles à R. Temam et aux auteurs]. The free boundary value-problem which we consider can be formulated as follows: to find a “regular" function $u$ satisfying

$$\left\{\begin{array}{cc}-\Delta u+\lambda g\left[\delta \right(u\left)\right]=0\hfill & \text{dans}\Omega ,\hfill \\ u=\text{(unknown)}\text{constant}>0\hfill & \text{on}\partial \Omega ,\hfill \\ {\int }_{\partial \Omega }\frac{\partial u}{\partial n}=I,\hfill \end{array}\right.$$

where $\Omega$ is a bounded regular open set of ${\mathbf{R}}^n$, and

$$\delta \left(u\right)\left(x\right)=\mathrm{mes}\{y\in \Omega \mid u(x)<u(y)<0\}.$$

We note that the nonlinear operator $\delta$ is neither monotone, nor local (nor even continuous). The existence, or non existence, of solutions is proved according to the values of the parameter $\lambda$. Similar problems were studied in [J. Mossino, Journal of Differential Equations], nevertheless the present problem requires new arguments in order to overcome the difficulties due to the partial coerciveness of the operator. In the crucial step here, we use a technique of symmetrization.

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