Invariants homotopiques attachés aux fibres symplectiques

Dazord, Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 2, pp. 25-78.

On donne une construction géométrique d’invariants généralisant la classe de Maslov-Arnold d’une immersion lagrangienne dans un fibré cotangent et l’indice de Maslov-Arnold-Leray d’une immersion lagrangienne $2q$-orientée dans ${\mathbf{R}}^n\oplus {\mathbf{R}}^{n*}$: la classe de Maslov-Arnold universelle d’un fibré symplectique et l’indice de Maslov-Arnold-Leray d’un fibré $q$-symplectique, c’est-à-dire dont le groupe structural est le revêtement à $q$ feuillets de $Sp\left(n\right)$. Tout ceci relève d’une situation géométrique générale dans laquelle s’introduisent naturellement des invariants homotopiques. Le point de vue géométrique adopté permet de dégager aisément les propriétés des objets construits.

We give a geometric construction of invariants generalizing the Maslov-Arnold class of a lagrangian immersion in a cotangent bundle and the Maslov-Arnold-Leray index of a $2q$-oriented lagrangian immersion in ${\mathbf{R}}^n\oplus {\mathbf{R}}^{n*}$: the universal Maslov-Arnold class of symplectic bundle and the Maslov-Arnold-Leray index of a $q$-symplectic bundle — that is to say whose structural group is the $q$-fold covering of $Sp\left(n\right)$. This is a peculiar aspect of a general geometric situation in which homotopic invariants appear naturally. The geometrical point of view adopted here allows to exhibit easily the properties of the constructed objects.

[1] V. I. Arnold, Une classe caractéristique intervenant dans les conditions de quantification, en français dans Théorie des perturbations et méthodes asymptotiques, Dunod-Gauthier-Villars, 1972, p. 341-361.

[2] Y. Colin De Verdières, Paramétrix de l'équation des ondes et intégrales sur l'espace des Chemins, Séminaire Goulaouic-Lions-Schwartz, 1974-1975, Exposé n° XX. | Numdam | Zbl

[3] P. Dazord, a) Propriétés globales des géodésiques des espaces de Finsler, Thèse Fac. Sc., Lyon 1969, n° 575. b) Une interprétation géométrique de la classe de Maslov, J. Math. Pures et Appl., 56 (1977), 231-250. c) Quelques remarques sur la classe de Maslov-Arnold, Publ. Dép. Math. Univ. Lyon, fasc. IV (1977).

[4] M. Demazure, Classe de Maslov II, Exposé n° 10, Séminaire sur le fibré cotangent, Orsay, 1975-1976.

[5] A. Douady, Classe de Maslov I, Exposé n° 6 (ib).

[6] J. J. Duistermatt, L'indice de Morse dans le calcul variationnel, Séminaire Goulaouic, Lions-Schwartz, 1973-1974, Exposé n° XXV et On the Morse index in variationnal calculus, Advances in Math., 21 (1976), 173-195. | Numdam | Zbl

[7] A. Haeffliger, Sur l'extension du groupe structural d'un espace fibré, C.R. Acad. Sc., Paris, 243 (1956), 558. | Zbl

[8] L. Hormander, Fourier Integral Operators I, Acta Math., 127 (1971), 79-183. | MR | Zbl

[9] J. Leray, a) Solutions asymptotiques et groupe symplectique, Colloque sur les opérateurs intégraux de Fourier et les Équations aux dérivées partielles, Nice, Lectures Notes, Springer 1974. b) Solutions asymptotiques et Physique Mathématique, Colloque d'Aix-en-Provence, Géométrie Symplectique et Physique Mathématique, Édition du C.N.R.S., 24-28, Juin 1974. c) Analyse lagrangienne et Mécanique Quantique, Cours du Collège de France, 1976-1977.

[10] V. P. Maslov, Théorie des perturbations et Méthodes asymptotiques, Dunod-Gauthier-Villars, 1972. | Zbl

[11] J. M. Souriau, a) Indice de Maslov des variétés lagrangiennes orientables, C.R. Acad. Sc., Paris, 276, Série A, 1025-1026. b) Construction explicite de l'indice de Maslov, Applications, 4th International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics, Univ. of Nijmegen, 1975. | MR | Zbl