Décomposition du Galois-module des entiers d'une extension cyclique de degré premier d'un corps de nombres ou d'un corps local

Bertrandias, Françoise

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 1, pp. 33-48.

Soit $A$ un anneau de Dedekind, de corps des fractions $K$, et soit $L$ une extension galoisienne de $K$, dont le groupe de Galois $G$ est cyclique d’ordre premier. On note $B$ la clôture intégrale de $A$ dans $L$. Il existe une unique décomposition du $A\left[G\right]$-module $B$ en somme directe de sous-modules indécomposables. On détermine cette décomposition lorsque $K$ est un corps local ou un corps de nombres. Le résultat dépend d’une part des caractères irréductibles de $G$ sur $K$, d’autre part des nombres de ramification associés aux idéaux premiers de $A$ ramifiés dans l’extension $L/K$.

Let $A$ be a Dedekind domain with quotient field $K$, and let $L$ be a Galois extension of $K$, with Galois group $G$ cyclic of prime order. Let $B$ be the integral closure of $A$ in $L$. There exists a unique decomposition of the $A\left[G\right]$-module $B$ as a direct sum of indecomposable submodules. We give this decomposition when $K$ is a local field or a number field ; it depends only on the irreducible characters of $G$ over $K$, and the ramification numbers of the prime ideals in $A$ which are ramified in the extension $L/K$.

[1] F. Bertrandias et M.J. Ferton, Sur l'anneau des entiers d'une extension cyclique de degré premier d'un corps local, C.R. Acad. Sc., Paris, 274 (1972), 1330-1333. | MR | Zbl

[2] F. Bertrandias, J.P. Bertrandias et M.J. Ferton, Sur l'anneau des entiers d'une extension cyclique de degré premier d'un corps local, C.R. Acad. Sc., Paris, 274 (1972), 1388-1391. | MR | Zbl

[3] C.W. Curtis et I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Pure and Appl. Math., XI, Interscience, New York, (1962). | MR | Zbl

[4] M.J. Ferton, Sur l'anneau des entiers d'extensions cycliques de degré p et d'extensions diédrales de degré 2p d'un corps local, Thèse de doctorat de troisième cycle, Grenoble, (1972).

[5] H. Jacobinski, Uber die Hauptordnung eines Körpers als Gruppen modul, J. reine angew. Math., 213 (1964), 151-164. | MR | Zbl

[6] H.W. Leopoldt, Uber die Hauptordnung der ganzen Elemente eines abelschen Zahlkörpers, J. reine angew. Math., 201 (1959), 119-149. | MR | Zbl

[7] J. Martinet, Anneau des entiers d'une extension galoisienne considérée comme module sur l'algèbre du groupe de Galois, Colloque de Théorie des Nombres de Bordeaux (1969) ; Bull. Soc. Math. Fr., Mémoire 25 (1971), 123-126. | Numdam | MR | Zbl

[8] Y. Miyata, On the module structure of all integers of a $ATT$-adic number field, Nagoya Math. J., 54 (1974), 53-59. | MR | Zbl

[9] E. Noether, Normal Basis bei Körpern ohne höhere Verzweigung, J. reine angew Math., 167 (1932), 147-152. | JFM | Zbl

[10] K.W. Roggenkamp et V. Huber-Dyson, Lattices over orders I, Lectures Notes in Math., 115, Springer (1970). | MR | Zbl