Différentiabilité fine, différentiabilité stochastique, différentiabilité stochastique de fonctions finement harmoniques

Mastrangelo-Dehen, Michèle

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 2, pp. 161-186.

Dans ce travail, nous définissons et étudions la notion de “différentiabilité stochastique” d’une fonction définie sur un ouvert fin d’une variété riemannienne de dimension finie. Nous démontrons ensuite qu’une fonction admettant une “suite d’approximation forte” est, quasi-partout, stochastiquement indéfiniment différentiable et nous appliquons ces résultats à une classe de fonctions finement harmoniques.

In this work, we define the notion of “stochastic differentiability” of a function defined on a finely open set in a finite dimensional Riemannian manifold. We prove that a function which is the limit of a “sequence of strong approximation” is stochastically indefinitely differentiable quasi-everywhere, and we apply this result to a class of finely harmonic functions.

[1] H. Bauer, Harmonic Spaces and associated Markov processes, Congrès Mathématique d'été de Stresa (1970). | MR | Zbl

[2] Blumenthal and Getoor, Markov processes and potential theory, Academic Press. | Zbl

[3] H. Cartan, Sur les fondements de la théorie du potentiel, Bull. Soc. Math. France, 69 (1941). | JFM | Numdam | MR | Zbl

[4] H. Cartan, Théorie du potentiel newtonien, énergie, capacité, suite de potentiels, Bull. Soc. Math France, 73 (1945). | Numdam | MR | Zbl

[5] Courant and Hilbert, Methods of mathematical physics, Interscience publishers. | Zbl

[6] Debiard et Gaveau, Potentiels fins et algèbres de fonctions, Journal of Functional Analysis, Juillet (1974).

[7] D. Dehen et M. Mastrangelo-Dehen, Étude de fonctions finement harmoniques sur des ouverts fins de C, CR Acad. Sc. Paris, Série A, 275 (7 Août 1972). | MR | Zbl

[8] D. Dehen et M. Mastrangelo-Dehen, Propriété de Lindeberg et points finement intérieur, Bulletin des Sciences Mathématiques (à paraître).

[9] D. Dehen et M. Mastrangelo-Dehen, Propriétés infinitésimales du mouvement brownien par rapport à la topologie fine, CR. Acad. Sci. Paris, (13 Novembre 1974).

[10] J. Deny et J. L. Lions, Les espaces du type de BEPPO-LEVY, Ann. Inst. Fourier, V (1953-1954), 305-370. | Numdam | Zbl

[11] Doob, Conditional Brownian motion and the boundary limits of harmonic functions, Bull. Soc. Math. France, n° 85 (1957). | Numdam | MR | Zbl

[12] E. B. Dynkin, Excessive functions and space of exists of a Markov process, Theor. Probab. Appl., 14 (1969), 37-54.

[13] E. B. Dynkin, The space of exits of a Markov process, Russian Math Survey, (4), 24 (1969). | Zbl

[14] E. B. Dynkin, Markov Processes, Springer Verlag, Berlin Heidelberg (1965). | Zbl

[15] B. Fuglede, Finely harmonic functions, Lect. Notes in Math. n° 289 Springer Verlag, et communication au Séminaire de Théorie du Potentiel, 17 et 18 mai 1973, Paris. | Zbl

[16] Ito, Lectures on Stochastic processes, Tata Institute Bombay, (1969).

[17] Ito and Mac Kean, Diffusion processes and their sample paths, Springer Verlag.

[18] Mac-Kean, Stochastic Integrals, Academic Press.

[19] P. A. Meyer, Processus de Markov, Lect. Notes in Math. n° 26, Springer Verlag. | MR | Zbl

[20] Nguyen Xuan Loc, Caracterisation of excessive functions on finely open nearly Borel sets, Math. Ann., 196 (1972), 250-268. | MR | Zbl

[21] Skohorod und Gihman, Stochastic differential equations, Ergebnisse des Mathematik und ihrer grenggebiete, Band 72.

[22] De La Vallée Poussin, Points irréguliers, détermination des masses par les potentiels, Bull. Acad. Royale Belgique, Sér. 5, t. 24. | Zbl

[23] Widder, The Laplace transform, Princeton University Press, 1946.