Sur les noyaux de Frostman-Kunugui et les noyaux de Dirichlet

Itô, Masayuki

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 3, pp. 45-95.

Considérons un noyau de convolution $\kappa \ne 0$ sur ${\mathbf{R}}^n$ ($n\ge 3$) sphériquement symétrique et vérifiant $\Delta \kappa \ge 0$ en dehors de 0, qui s’appelle un noyau de Frostman-Kunugui. Le but de cet article est de donner les conditions suffisantes pour le principe du balayage de $\kappa$.

Supposons que $\kappa$ est de classe $C^2$ en dehors de 0 et s’annule à l’infini. Si $\Delta \kappa$ vérifie la conditions suivante (*), alors $\kappa ={\kappa }_0+c{r}^{2-n}$, où ${\kappa }_0$ est un noyau de Dirichlet et où $c$ est une constante $\ge 0$.

(*) $\Delta \kappa =0$ en dehors de 0 ou bien $\Delta \kappa >0$ en dehors de 0 et, pour $t>0$ quelconque, $\frac{\Delta \kappa *s_t\left(x\right)}{\Delta \kappa \left(x\right)}$ décroît lorsque $\left|x\right|>t$ croît, où $s_t$ est la mesure uniforme sur la sphère de centre 0 et de rayon $t$ vérifiant $\int d{s}_t=1$.

En l’appliquant, on obtiendra une condition plus concrète pour $\kappa ={\kappa }_0+c{r}^{2-n}$.

We consider a spherically symmetric convolution kernel $\kappa \ne 0$ on ${\mathbf{R}}^n$ ($n\ge 3$) satisfying $\Delta \kappa \ge 0$ outside 0, which is called a Frostman-Kunugui kernel. The purpose of this paper is to give some sufficient conditions for the balayage principle of $\kappa$.

Suppose that $\kappa$ is of class $C^2$ outside 0 and vanishes at the infinity. If $\Delta \kappa$ satisfies the following condition (*), then $\kappa ={\kappa }_0+c{r}^{2-n}$, where ${\kappa }_0$ is a Dirichlet kernel and $c$ is a non-negative constant.

(*) $\Delta \kappa =0$ outside 0 or $\Delta \kappa >0$ outside 0 and, for any $t>0$, $\frac{\Delta \kappa *s_t\left(x\right)}{\Delta \kappa \left(x\right)}$ decreases when $\left|x\right|>t$ increases, where $s_t$ is the uniform measure on the sphere with the center 0 and the radius $t$ satisfying $\int d{s}_t=1$.

By using it, we shall obtain a more concrete condition for $\kappa ={\kappa }_0+c{r}^{2-n}$.

[1] A. Beurling et J. Deny, Dirichlet spaces, Proc. Nat. Acad. Sc., U.S.A., 45 (1959), 208-215. | MR | Zbl

[2] G. Choquet et J. Deny, Aspects linéaires de la théorie du potentiel. Théorème de dualité et applications, C.R. Acad. Sc., Paris, 246 (1956), 764-767. | MR | Zbl

[3] G. Choquet et J. Deny, Aspects linéaires de la théorie du potentiel. Noyaux de composition satisfaisant au principe du balayage sur tout ouvert, C.R. Acad. Sc., Paris, 250 (1960), 4260-4262. | MR | Zbl

[4] J. Deny, Principe complet du maximum et contractions, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 15 (1965), 259-271. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[5] C.S. Herz, Analyse harmonique à plusieurs variables, Sém. Math. d'Orsay, 1965/1966.

[6] M. Itô, On total masses of balayaged measures, Nagoya Math. J., 30 (1967), 263-278. | MR | Zbl

[7] M. Itô, The singular measure of a Dirichlet space, Nagoya Math. J., 32 (1968), 337-359. | MR | Zbl

[8] M. Itô, Sur la régularité des noyaux de Dirichlet, C.R. Acad. Sc. Paris, 268 (1969), 867-868. | MR | Zbl

[9] M. Itô, Remarque sur la somme des résolvantes, Proc. Japan Acad., 46 (1970), 243-245. | MR | Zbl

[10] M. Itô, Sur les sommes des noyaux de Dirichlet, C.R. Acad. Sc., Paris, 271 (1970), 937-940. | MR | Zbl

[11] M. Itô, Sur les principes divers du maximum et le type positif, Nagoya Math. J., 44 (1971), 133-164. | MR | Zbl

[12] K. Kunugui, Etude sur la théorie du potentiel généralisé, Osaka Math., J., 2 (1950), 63-102. | MR | Zbl

[13] M. Riesz, Intégrales de Rieman-Liouville et potentiels, Acta Sc. Math. Szeged, 9 (1938), 1-42. | JFM | Zbl