Sur les idéaux jacobiens des courbes planes

Henry, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 3, pp. 193-210.

Le $(n+1)$ème idéal jacobien itéré d’une courbe complexe algébroïde plane a même clôture intégrale que l’idéal jacobien d’un élément général du $n$ième idéal jacobien itéré. Ce résultat ramène pour les idéaux ci-dessus les calculs de multiplicité à des calculs de longueur.

Let $J$ an ideal of $\mathbf{C}\left[\right[x,y\left]\right]$ and ${\Delta }^{2}J$ be the ideal generated by the elements of $J$ and their partial derivatives of order one. Let $\varphi$ be a generic element of $J$ and ${\Delta }^2\varphi$ the jacobian ideal of $\varphi$, generated by partial derivatives of order one of $\varphi$. If $J$ is already the jacobian ideal of an element of $\mathbf{C}\left[\right[x,y\left]\right]$ or more generally the iterated jacobian of such an element then ${\Delta }^{2}J$ and ${\Delta }^2\varphi$ have the same integral closure.

This result is useful in deformation and equisingularity problems, especially to calculate some Milnor numbers (cf. for example Lê Dung Tráng: “Calcul du nombre de cusps dans les déformations verselles des hypersurfaces complexes”, Bull. Soc. Math. France, 102).

[1] Lê Dũng Tráng, Calcul du nombre de cusps dans les déformations verselles des hypersurfaces complexes Bull. Soc. Math. France, 102 (1974), 99-107. | Numdam | MR | Zbl

[2] F. Pham, Remarque sur l'équisingularité universelle, Faculté des Sciences de Nice, 1970 (Preprint).

[3] J.J. Risler, Sur les déformations équisingulières d'idéaux, Bull. Soc. Math. France, 101 (1973), 3-16. | Numdam | MR | Zbl