Biholomorphic maps determined on the boundary

Mochizuki, Nozomu

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 3, pp. 129-133.

Soit $D$ un domaine borné de ${\mathbf{C}}^n$ tel que la frontière $bD$ soit topologiquement égale à $S^{2n-1}$ dans ${\mathbf{R}}^{2n}$ contenant un point régulier ; soit $f:\tilde{D}\to {\mathbf{C}}^n$ une application holomorphe où $\tilde{D}$ est un voisinage de $\overline{D}$. Si $f|bD$ est biunivoque $f:D\to f\left(D\right)$ est biholomorphe.

Let $D$ be a bounded domain in ${\mathbf{C}}^n$ such that the boundary $bD$ is topologically $S^{2n-1}$ in ${\mathbf{R}}^{2n}$ with a regular point; let $f:\tilde{D}\to {\mathbf{C}}^n$ be a holomorphic map where $\tilde{D}$ is a neighborhood of $\overline{D}$. If $f$ is one-to-one when restricted to $bD$, then $f:D\to f\left(D\right)$ is biholomorphic.

[1] S. Sternberg, Lectures on Differential Geometry, Prentice-Hall, New Jersey, 1964. | MR | Zbl