Quelques curieuses topologies sur $M_{\mu }\left(T\right)$ et $M_{\beta }\left(T\right)$

Buchwalter, Henri

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 2, pp. 61-77.

Pour tout compact complètement régulier $T$, on désigne par $M_{\beta }\left(T\right)$ l’espace des mesures de Radon sur le compactifié de Stone-Cech $\beta T$ de $T$ et par $M_{\sigma }\left(T\right)$ son sous-espace formé des mesures $\sigma$-régulières au sens de Varadarajan. On décrit alors sur ces deux espaces des topologies ${\mathbf{T}}_p$, $1\le p\le +\infty$, qui possèdent des propriétés curieuses parmi lesquelles il convient de citer la suivante : pour $1<p\le +\infty$ et pour tout $T$ non pseudocompact, l’espace $\left(M_{\sigma }\right(T),{\mathbf{T}}_p)$ est non quasi-complet mais ses précompacts sont relativement compacts. Ce résultat permet en particulier la construction explicite de telles topologies sur l’espace $l^1=l^1\left(N\right)$.

For any completely regular Hausdorff space $T$, let $M_{\beta }\left(T\right)$ be the space of Radon measures on the Stone-Cech compactification $\beta T$ of $T$ and $M_{\sigma }\left(T\right)$ its subspace of $\sigma$-regular measures in the sense of Varadarajan. We describe on these two spaces some topologies ${\mathbf{T}}_p$, $1\le p\le +\infty$, which possess curious properties. For example, if $1<p\le +\infty$ and if $T$ is not pseudocompact, the space $\left(M_{\sigma }\right(T),{\mathbf{T}}_p)$ is not quasi-complete but its closed totally bounded subsets are compact. This result gives in particular an explicit construction of such topologies on the space $l^1=l^1\left(N\right)$.

[1] J. Berruyer et B. Ivol, Espaces de mesures et compactologies, Publ. Dép. Math., Lyon, 9-1 (1972), 1-35. | EuDML | Numdam | MR

[2] D. Bucchioni, Mesures vectorielles et partitions continues de l'unité, Publ. Dép. Math., Lyon, 12-3 (1975), 51-90. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[3] H. Buchwalter, Topologies et compactologies, Publ. Dép. Math., Lyon, 6-2 (1969), 1-74. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[4] J. Dazord et M. Jourlin, Sur quelques classes d'espaces localement convexes, Publ. Dép. Math., Lyon, 8-2 (1971), 39-69. | MR | Zbl

[5] G. De Marco et R. G. Wilson, Realcompactness and partitions of unity, Proc. Amer. Math. Soc., 30-1 (1971), 189-194. | MR | Zbl

[6] L. Gillman et M. Jerison, Rings of continuous functions, Van Nostrand, (1960), New-York. | MR | Zbl

[7] R. Haydon, Sur un problème de H. Buchwalter, C.R. Acad. Sc., Paris, 275 (1972), 1077-1080. | MR | Zbl

[8] V. Ptak, Compact subsets of convex topological linear spaces, Czech. Math. J., 79-4 (1954), 51-74 (en russe; résumé en anglais). | EuDML | MR | Zbl

[9] M. Rajagopalan et R. F. Wheeler, Sequential compactness of X implies a completeness property for C(X), Canad. J. Math., XXVIII-1 (1976), 207-210. | MR | Zbl

[10] M. Rome, L'espace M∞(T), Publ. Dép. Math., Lyon, 9-1 (1972), 36-60.

[11] D. Sentilles et R. F. Wheeler, Linear functionals and partitions of unity in Cb(X), Duke Math. J., 41 (1974), 483-496. | MR | Zbl

[12] V. S. Varadarajan, Measures on topological spaces, Amer. Math. Soc. Translations, (2), 48 (1965), 161-228. | Zbl

[13] R. F. Wheeler, The strict topology for P-spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 41 (1973), 466-472. | MR | Zbl