Quelques résultats sur les solutions de systèmes d'inéquations de type parabolique

Reynaud, Gérard

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 1, pp. 167-230.

On considère un opérateur $L$ défini par

$$Lu=\sum _{i=1}^n{D}_i{\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)-\sum _{k=1}^N{D}_t[{\alpha }_{p,k}{u}_k]$$

où $u$ est une application de $\overline{\Omega }\times [0,T]$ dans ${\mathbf{R}}^N$ ($\Omega$ ouvert quelconque de $R^n$), ${\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)$ $(1\le i\le n;1\le p\le N)$ sont des opérateurs du premier ordre ${\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)={\sum }_{j,k}{a}_{ijk}^p{D}_j{u}_k$ dans le cas linéaire), ${\alpha }_{pk}$ et $a_{ijk}^p$ sont des fonctions non nécessairement bornées de $\overline{\Omega }\times [0,T]$. On démontre, sous certaines hypothèses, que les solutions de $-2uLu\le c_1{u}^2+\mu {\sum }_{i,p}{D}_i{u}_p.{\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)$ ($c_1$ fonction de $\overline{\Omega }\times [0,T]$, $\mu$ constante positive inférieure à 2), vérifient : $t\to {\int }_{\Omega }{\Phi }^2{\alpha }_{p,k}{u}_p.u_{k}dx$ est décroissante (${\Phi }^2$ fonction poids convenablement choisie). De ce résultat, on obtient des théorèmes d’unicité et, si $N=1$, des résultats analogues, mais ne portant que sur la partie positive (ou négative) des solutions. Des contre-exemples montrent que les résultats obtenus ne peuvent pas être “améliorés”.

Consider the operator $L$ defined by

$$Lu=\sum _{i=1}^n{D}_i{\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)-\sum _{k=1}^N{D}_t[{\alpha }_{p,k}{u}_k]$$

where $u$ is an ${\mathbf{R}}^N$-valued function on $\overline{\Omega }\times [0,T]$ dans ($\Omega$ any open set of $R^n$), ${\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)$ $(1\le i\le n;1\le p\le N)$ are first order operators (in linear case ${\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)={\sum }_{j,k}{a}_{ijk}^p{D}_j{u}_k,{\alpha }_{p,k}$ and $a_{ijk}^p$ are $\mathbf{R}$-valued not necessarily bounded functions from $\overline{\Omega }\times [0,T]$. Under some hypothesis, we prove that the solutions of $-2uLu\le c_1{u}^2+\mu {\sum }_{i,p}{D}_i{u}_p.{\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)$ ($c_1$ function from $\overline{\Omega }\times [0,T]$, into $\mathbf{R},\mu$ a positive constant $<2$) satisfy : $t\to {\int }_{\Omega }{\Phi }^2{\alpha }_{p,k}{u}_p.u_{k}dx$ is decreasing (${\Phi }^2$ a suitable weight function). From this result, we obtain theorems of unicity and (if $N=1$) others similar results, concerning only the positive or negative part of solutions. Using counter-examples, we may show that the results obtained here, cannot be “improved”.

[1] S. Agmon et L. Nirenberg, Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach space, Comm. Pure Appl. Math., XVI (1963), 121-239. | MR | Zbl

[2] D.G. Aronson et P. Besala, Uniqueness of positive solutions of parabolic equations with unbounded coefficients, Coll. Math., XVIII (1967) 125-135. | MR | Zbl

[3] J. Chabrowski, Sur l'unicité de la solution du problème de Cauchy pour l'équation linéaire du type parabolique, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Série III, XXIII, Fasc. IV, (1969), 547-552. | Numdam | MR | Zbl

[4] D.E. Edmunds et Valérie Williams, Hyperbolic differential inequalities, Journal London Math. Soc., 42 (1967). | MR | Zbl

[5] I.M. Guelfand-G.E. Chilov, Les distributions, Collection Universitaire de Mathématiques, Dunod.

[6] M. Lees, Asymptotic behavior of solutions of parabolic differential inequalities, Canadian J. of Maths., 14 (1962). | MR | Zbl

[7] M. Lees et M.H. Protter, Unique continuation for parabolic differential equations and inequalities, Duke Math. J., 28 (1961), 369-382. | MR | Zbl

[8] P. Mustata, Un théorème d'unicité de la solution du problème de Cauchy pour l'équation linéaire parabolique du second ordre, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, XXI (1967), 507-526. | Numdam | MR | Zbl

[9] M.H. Protter, Asymptotic behavior and uniqueness theorems for hyperbolic equations and inequalities, Tech. Rep. Contract AF 49 (638) — 398, Univ. of Calif., Berkeley, Calif., 1960.

[10] F. Riesz et B.Sz. Nagy, Leçons d'analyse fonctionnelle, Gauthier-Villars. | Zbl

[11] Séminaire SCHWARTZ 1959/1960.