Approximation polynomiale pondérée dans un domaine d’holomorphie de ${𝐂}^n$

Sibony, Nessim

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 2, pp. 71-99.

Soit $\Omega$ un domaine d’holomorphie de ${\mathbf{C}}^n$ et soit $\psi$ une fonction positive telle que pour tout $k>0$ on ait

$$\underset{z\in \Omega }{sup}\left\{\psi \right(z),[\min \mathrm{dist}(z,{\mathbf{C}}^n\setminus \Omega ),(1+|z{|}^2{)}^{-1/2}{]}^k\}<\infty .$$

On note $H^p(\Omega ,\psi )$, $1\le p\le \infty$, l’espace des fonctions $f$ holomorphes dans $\Omega$ telles que $\parallel f{\parallel }_p={\left({\int }_{\Omega }|f{|}^p\psi \right)}^{1/p}<\infty$. On donne des conditions nécessaires et des conditions suffisantes pour l’approximation des fonctions de $H^p(\Omega ,\psi )$ par des fonctions holomorphes dans un ouvert contenant $\Omega$, ou par des polynômes. On obtient comme cas particulier les résultats suivants :

a) les polynômes sont denses dans $H^p(\Omega ,\exp (-\Phi \left)\right)$ lorsque $\Omega$ est ouvert convexe (non borné) et $\Phi$ une fonction convexe dans $\Omega$,

b) les polynômes sont denses dans $H^p({\mathbf{C}}^n,\exp (-\Phi ))$, $1\le p\le \infty$, si $\Phi$ est plurisousharmonique homogène d’ordre $\rho >0$.

Let $\Omega$ be a domain of holomorphy in ${\mathbf{C}}^n$ and let $\psi$ be a positive function in $\Omega$ such that

$$\underset{z\in \Omega }{sup}\left\{\psi \right(z),[\min \mathrm{dist}(z,{\mathbf{C}}^n\setminus \Omega ),(1+|z{|}^2{)}^{-1/2}{]}^k\}<\infty$$

for all $k>0$. Let $H^p(\Omega ,\psi )$, be the space of holomorphic function $f$ on $\Omega$ such that $\parallel f{\parallel }_p={\left({\int }_{\Omega }|f{|}^p\psi \right)}^{1/p}<\infty$. We study necessary and sufficient conditions for the density in $H^p(\Omega ,\psi )$ of functions holomorphic in larger open sets, or of polynomials. As application of more general results we have:

a) polynomials are dense in $H^p(\Omega ,\exp (-\Phi \left)\right)$ if $\Omega$ is convex and $\Phi$ is a convex function on $\Omega$,

b) polynomials are dense in $H^p({\mathbf{C}}^n,\exp (-\Phi ))$, if $\Phi$ is plurisubharmonic and homogeneous of order $\rho >0$.

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